какая минор называется базисным

Какая минор называется базисным

Из этого определения следуют простые свойства ранга матрицы: это целое число, причем ранг ненулевой матрицы удовлетворяет неравенствам: \(1 \leq rang(A) \leq \min(m,n)\).

Как изменится ранг матрицы, если вычеркнуть какую-нибудь строку? Добавить какую-нибудь строку?

1) Ранг может уменьшиться на 1.

2) Ранг может увеличиться на 1.

Столбец \[ D=c_1A_1+c_2A_2+. +c_nA_n = \sum _^nc_mA_m \] называется линейной комбинацией столбцов \(A_1,A_2. A_n\), числа \(c_1,c_2. c_n\) называются коэффициентами этой линейной комбинации.

1. не все эти числа равны нулю,

\[ A_1=\left( \begin 1 \\ 0 \end \right), A_2=\left( \begin 0 \\ 1 \end \right), \] тогда для любых чисел \(c_1,c_2\) имеем: \[ c_1A_1+c_2A_2=c_1\left( \begin 1 \\ 0 \end \right)+c_2\left( \begin 0 \\ 1 \end \right)=\left( \begin c_1 \\ c_2 \end \right). \]

Эта линейная комбинация равна нулевому столбцу тогда и только тогда, когда оба числа \(c_1,c_2\) равны нулю. Таким образом, эти столбцы линейно независимы.

Для того, чтобы столбцы были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из них был линейной комбинацией остальных.

Для любой ненулевой матрицы \(A\) справедливо следующее:

1. Базисные столбцы линейно независимы.

2. Любой столбец матрицы является линейной комбинацией его базисных столбцов.

(Аналогичное верно и для строк).

Из теоремы о базисном миноре следует, что ранг матрицы равен числу ее линейно независимых столбцов (которое равно числу линейно независимых строк).

Если определитель равен нулю, то у него есть столбец, который является линейной комбинацией остальных столбцов.

Если ранг матрицы меньше числа столбцов, то столбцы матрицы линейно зависимы.

Некоторые преобразования матрицы не меняют ее ранг. Такие преобразования можно назвать элементарными. Соответствующие факты нетрудно проверить с помощью свойств определителей и определения ранга матрицы.

1. Перестановка столбцов.

2. Умножение элементов какого-нибудь столбца на ненулевой множитель.

3. Прибавление к столбцу любого другого столбца, умноженного на произвольное число.

4. Вычеркивание нулевого столбца.

Аналогичное верно и для строк.

\(max(r_1, r_2) \leq rang(C) \leq \min(n, r_1 + r_2)\)

1. Вычислить ранг матрицы

2. Доказать равенство \(rang(A)=rang(A^T)\).

Источник

Теорема о базисном миноре матрицы

В данной публикации мы рассмотрим теорему о базисном миноре (формулировка и следствия). Также разберем пример задачи для демонстрации ее применения на практике.

Формулировка теоремы

В произвольной матрице A столбцы/строки, входящие в состав базисного минора M (называются “базисными”), линейно независимы. Каждый столбец/строка матрицы является линейной комбинацией базисных столбцов/строк.

Из теорему о базисном миноре следует:

Пример задачи

Давайте найдем всем базисные миноры матрицы A, представленной ниже, а также определим ее ранг.

Решение:

1. Выполним элементарные преобразования над матрицей, чтобы упростить ее. Для начала разделим третью строку на 2 и переставим ее с первой местами.

2. Отнимем из третьей строки первую.

3. Получаем матрицу с нулевой строкой, что означает, что все миноры третьего порядка равняются нулю.

4. Таким образом, базисными в нашем случае могут быть только ненулевые миноры второго порядка, состоящие из первой и второй строк полученной матрицы.

Источник

Ранг матрицы и базисный минор матрицы

Пример 3.4. Записать миноры разных порядков матрицы

Пример 3.5. Найти все базисные миноры и ранг матрицы

Решение. Все миноры третьего порядка данной матрицы равны нулю, так как у этих определителей третья строка нулевая. Поэтому базисным может быть только минор второго порядка, расположенный в первых двух строках матрицы. Перебирая 6 возможных миноров, отбираем отличные от нуля

Каждый из этих пяти миноров является базисным. Следовательно, ранг матрицы равен 2.

1. Если в матрице все миноры k-го порядка равны нулю, то равны нулю и миноры более высокого порядка. Действительно, раскладывая минор (k+1)-ro порядка по любой строке, получаем сумму произведений элементов этой строки на миноры k-го порядка, а они равны нулю.

2. Ранг матрицы равен наибольшему порядку отличного от нуля минора этой матрицы.

3. Если квадратная матрица невырожденная, то ее ранг равен ее порядку. Если квадратная матрица вырожденная, то ее ранг меньше ее порядка.

Теоремы о базисном миноре и о ранге матрицы

Рассмотрим основные теоремы, выражающие свойства линейной зависимости и линейной независимости столбцов (строк) матрицы.

Действительно, без ограничения общности предполагаем, что в матрице размеров базисный минор расположен в первых строках и первых столбцах. Рассмотрим определитель

Теорема о базисном миноре служит для доказательства следующих важных теорем.

Условие равенства нулю определителя

Теорема 3.2 (необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя). Для того чтобы определитель был равен нулю необходимо и достаточно, чтобы один из его столбцов <одна из его строк) был линейной комбинацией остальных столбцов (строк).

Инвариантность ранга матрицы при элементарных преобразованиях

Теорема 3.3 (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях). При элементарных преобразованиях столбцов (строк) матрицы ее ранг не меняется.

Следствие 1. Если одна строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией других ее строк (столбцов), то эту строку (столбец) можно вычеркнуть из матрицы, не изменив при этом ее ранга.

Действительно, такую строку при помощи элементарных преобразований можно сделать нулевой, а нулевая строка не может входить в базисный минор.

Следствие 2. Если матрица приведена к простейшему виду (1.7), то

Действительно, матрица простейшего вида (1.7) имеет базисный минор r-го порядка.

Следствие 3. Любая невырожденная квадратная матрица является элементарной, другими словами, любая невырожденная квадратная матрица эквивалентна единичной матрице того же порядка.

Теорема 3.4 (о ранге матрицы). Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк этой матрицы.

Следствие 1. Максимальное число линейно независимых строк в матрице равно максимальному числу линейно независимых столбцов:

Это утверждение вытекает из теоремы 3.4, если ее применить к строкам транспонированной матрицы и учесть, что при транспонировании миноры не изменяются (свойство 1 определителя).

Следствие 2. При элементарных преобразованиях строк матрицы линейная зависимость (или линейная независимость) любой системы столбцов этой матрицы сохраняется.

1. В силу следствия 1 теоремы 3.4 свойство столбцов, указанное в следствии 2, справедливо и для любой системы строк матрицы, если элементарные преобразования выполняются только над ее столбцами.

2. Следствие 3 теоремы 3.3 можно уточнить следующим образом: любую невырожденную квадратную матрицу, используя элементарные преобразования только ее строк (либо только ее столбцов), можно привести к единичной матрице того же порядка.

Ранге произведения и суммы матриц

Теорема 3.5 (о ранге произведения матриц). Ранг произведения матриц не превышает ранга множителей:

Теорема 3.6 о ранге суммы матриц. Ранг суммы матриц не превышает суммы рангов слагаемых:

Источник

Базисный минор матрицы. Ранг матрицы

Определение. В матрице порядка mxn минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n.
Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются базисными.

В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.

Определение. Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается Rg А.
Очень важным свойством элементарных преобразований матриц является то, что они не изменяют ранг матрицы.

Теорема. Наибольшее число линейно независимых столбцов в матрице равно числу линейно независимых строк.

Т.к. элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы, то можно существенно упростить процесс нахождения ранга матрицы.

Пример. Определить ранг матрицы.

, RgA = 2.

Пример: Определить ранг матрицы.

, Rg = 2.

Пример. Определить ранг матрицы.

, => Rg = 2.

Если с помощью элементарных преобразований не удается найти матрицу, эквивалентную исходной, но меньшего размера, то нахождение ранга матрицы следует начинать с вычисления миноров наивысшего возможного порядка. В вышеприведенном примере – это миноры порядка 3. Если хотя бы один из них не равен нулю, то ранг матрицы равен порядку этого минора.

Источник

Какая минор называется базисным

Определение 1. Рангом матрицы называется максимальный порядок минора, отличного от нуля, и обозначается r ( A ).

Определение 2. Отличный от нуля минор порядка r= r ( A ) называется базисным минором матрицы А, а строки (столбцы), в которых он расположен, называют базисными строками (столбцами).

Теорема 1 ( теорема о базисном миноре). Любой столбец (строка) матрицы А является линейной комбинацией ее базисных столбцов (строк).

Теорема 2. Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) матрицы.

При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. Ранг треугольной матрицы равен числу ненулевых строк этой матрицы.

Для того чтобы найти ранг матрицы, необходимо с помощью элементарных преобразований привести ее к треугольному виду и найти ранг полученной матрицы. Рассмотрим схему таких преобразований подробно. Пусть дана матрица

Преобразуем второй столбец, начиная с элемента а’₂₂. Если этот элемент отличен от нуля, то аналогично вышеизложенному получим на его месте единицу, а ниже расположенные элементы превратим в нули. Если а’₂₂=0, но ниже его в том же столбце есть элемент, отличный от нуля, то, поменяв местами строки, переставим его на место а’₂₂. Если в столбце не окажется ненулевых элементов, то можно поменять местами столбцы, пока на месте а’₂₂ не окажется ненулевой элемент.

После второго цикла получим новую эквивалентную матрицу.

Выполняя последовательно несколько циклов подобных эквивалентных преобразований и отбросив нулевые строки, придем окончательно к матрице

Буквой ” а” условно обозначены элементы матрицы, которые могут принимать любые числовые значения.

Очевидно, что r ( A )= m 1, так как минор, расположенный в первых m 1 строках и первых m 1 столбцах, равен единице.

Вычисление ранга системы векторов можно свести к вычислению ранга матрицы. Из теоремы 2 следует, что ранг системы векторов равен рангу матрицы, столбцами (строками) которой являются векторы этой системы.

Пример. Найти ранг системы векторов

Составим матрицу из координат векторов и найдем ее ранг.

r (А)=3, =1 ¹ 0.

Ранг данной системы векторов равен трем, т.е. она имеет три линейно независимых вектора.

Источник