какая последовательность называется ограниченной

07.01.202404.06.2022 admin 0 Comments

Ограниченные и неограниченные последовательности

Последовательность <> называется ограниченной, если существуют числа и такие, что для любого номера имеет место неравенство: .

Геометрически ограниченность последовательности <> означает существование отрезка , на котором помещены все члены этой последовательности. Одновременно заметим, что для неограниченной последовательности <> такого отрезка , которому принадлежат все члены , не существуют.

Так, последовательность из примера 8.1 ограничена, т.к. существует и , такие, что . Геометрически все элементы последовательности принадлежат промежутку .

Последовательность из примера 8.3 также ограничена, .

Последовательность из примера 8.2 не ограничена, т.к. не существует числа , которое бы ограничивало последовательность сверху.

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

Источник

Ограниченные и неограниченные последовательности

Определение. Последовательность n> называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:

т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).

Определение. Последовательность (x_n) называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что

Определение. Последовательность n>называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что

Пример. n> = n – ограничена снизу <1, 2, 3,>.

Определение. Число а называется пределом последовательности n>, если для любого положительного e>0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие:

Это записывается: lim x_n = a.

В этом случае говорят, что последовательность n> сходится к а при n®¥.

Свойство: Если отбросить какое-либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.

Пример. Доказать, что предел последовательности lim .

Пусть при n > N верно , т.е. . Это верно при , таким образом, если за N взять целую часть от , то утверждение, приведенное выше, выполняется.

Пример. Показать, что при n®¥ последовательность 3, имеет пределом число 2.

Очевидно, что существует такое число n, что , т.е. lim n> = 2.

Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.

Доказательство. Предположим, что последовательность n>имеет два предела a и b, не равные друг другу.

Тогда по определению существует такое число e >0, что

Запишем выражение:

А т.к. e- любое число, то , т.е. a = b. Теорема доказана.

Теорема. Если x_n ® a, то .

Доказательство. Из x_n ® a следует, что . В то же время:

, т.е. , т.е. . Теорема доказана.

Теорема. Если x_n ® a, то последовательность n> ограничена.

Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.

Например, последовательностьне имеет предела, хотя

Монотонные последовательности

Определение:

1) Если x_n₊₁ > x_n для всех n, то последовательность возрастающая.

2) Если x_n₊₁ ³ x_n для всех n, то последовательность неубывающая.

n> = n – возрастающая и неограниченная.

Найдем член последовательности n₊₁> =

Найдем знак разности: n>-n₊₁> =

, т.к. nÎN, то знаменатель положительный при любом n.

Таким образом, x_n₊₁ > x_n. Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.

Найдем . Найдем разность

Источник

Какая последовательность называется ограниченной

Знакомство с понятиями математичекого анализа начнем с числовых последовательностей.

Определение 1.
Последовательностью действительных чисел, или просто последовательностью называется упорядоченное бесконечное множество действительных чисел, элементы которого занумерованы натуральными числами.

Последовательность обозначается

Числа называются элементами последовательности.

1. последовательность квадратов натуральных чисел.

Пример иллюстрирует, что разные элементы последовательности могут иметь одинаковые значения.

Примеры.
Исследуем приведенные выше примеры последовательностей на ограниченность.

Источник

Вопрос 2. Ограниченная последовательность.

Вопрос 1. Числовая последовательность. Примеры.

Числовая последовательность – функция натурального аргумента: f(n)=x_n

Определение: если по некоторому закону каждом натуральному числу n поставлено в соответствие вполне оптимальное число x_n, то говорят, что задана числовая последовательность < x_n >.

1) 2,4,6..2n,…(монотонная, неограниченная)

2) 1,0,1,0,…(немонотонная, ограниченная)

Вопрос 2. Ограниченная последовательность.

Послед. x_n называется ограниченной, если существуют два числа m,M такие, что x_n находится в пределах m≤ x_n≤M.

-Последовательность называется ограниченной, если она одновременно ограничена и сверху и снизу.

Вопрос 3. Предел числовой последовательности.

Определение: число А называется пределом последовательности < а_n >, если для любого положительного числа ε>0 найдется такой N(номер, зависящий от ε), начиная с которого будет выполняться неравенство: |х _n-а| N имеем

И, поскольку ε является как угодно малым положительным числом, как единственно возможное, имеем

Вопрос 5. Ограниченность сходящейся последовательности.

Если последовательность имеет конечный предел, то последовательность ограничена.

Если последовательность сходится, то она ограничена.

Доказательство: пусть последовательность сходится, то есть . Тогда по определению выполняется . Пусть =1, тогда .

Пусть M=max <>

m=min <>, тогда .

Значит, по определению последовательность является ограниченной.

Ограниченность последовательности является необходимым условием сходимости, но не является достаточным. Существуют ограниченные последовательности, которые не являются сходящимися.

Например, .

Пусть последовательность ограничена, будет ли она сходящейся? – Ограниченная сходимость следует не всегда.

неограниченная

ограниченная

Вопрос 6. Свойства пределов, связанные с арифметическими действиями (для последовательности)

Вопрос 7. Переход к пределу в неравенствах

Пусть и ; ,

Тогда

Вопрос 30. Теорема Ролля

Пусть функция f(x) дифференцируема внутри интервала (a;b)- непрерывна на сегменте и на f(a)=f(b) (на концах отрезка принимает равные значения)найдется такая точка, в которой производная равна 0.

Геометрический смысл теоремы: Найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс; в этой точке производная и будет равняться 0.

Проиллюстрируем эту теорему геометрически:

Найдет такая точка С, в которой касательная будет горизонтальна в этой точке производная равна 0.

Доказательство: Пусть функция f(x) – постоянна х ∈ (a;b), тогда значение производной во всех точках равно 0.

f(x)- не является константой.

Пусть f(x)>f(a), значение на концах функции равны

Пусть f(x)>f(a), по условию f(a)=f(b)=>f(x)>f(b)

Теорема Коши.

Пусть f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), тогда справедлива следующая формула:

, где – какая-то точка из интервала (a;b)

Экстремум функции

– в точке х₀ у функции будет max, если в окрестности точки х₀ f(x₀)>f(x)

Тогда функция в точке х=х₀ не может не возрастать, не убывать.

–Достаточное условие экстремума.

Вопрос 47. Таблица интегралов.

Таблица интегралов проверяется дифференцированием.

Вопрос 60.Числовые ряды

Числовым рядом называется сумма , a_n– общий член ряда.

Признак Коши.

Пусть существует предел , тогда:

1)q 1-ряд расходится

3)q=1- ничего сказать нельзя(признак не работает)

Доказательство:

Для любого положения числа ε(∀ε>0) мы имеем

– это геометрическая прогрессия со знаком сходится, поэтому по признаку сравнения исходный ряд сходится.

За счет выбора ε можно q-ε>1

Признак Даламбера.

Пусть существует , тогда

1)q 1-ряд расходится

3) q=1- нужны дополнительные сведения.

– сходится => исходный ряд тоже сходится.

2) q>1 аналогично, как признак Коши.

Признак Лейбница

Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине u₁>u₂>u₃>…>u_n>… и предел его общего члена при n→∞ равен 0, т.е. , то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена: S≤u₁.