какая прямая называется перпендикулярной плоскости
Геометрия. 10 класс
Конспект урока
Геометрия, 10 класс
Урок № 8 Перпендикулярность прямой и плоскости
Перечень вопросов, рассматриваемых по теме
Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90
. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.
Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости
Теорема о прямой перпендикулярной к плоскости. Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 10-11 кл. Базовый и профильный уровень. М.: Просвещение, 2015. С.1-10.
Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии для 9 класса. Базовый и профильный уровень
Зив Б.Г. Геометрия. Дидактические материалы. 10-11 класс М.: Просвещение, 2015.
Открытые электронные ресурсы:
Перпендикулярность прямой и плоскости. http://school-collection.edu.ru // Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов.
Перпендикулярность прямой и плоскости. https://www.yaklass.ru // Я-класс. Образовательный портал Сколково.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой..
Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Проведем какую-нибудь прямую x в плоскости α, т.е. x ∊ α.Так как а ⊥ α, то а ⊥ x.
По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а1 ⊥ x.
Таким образом, прямая а1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т. е. а1 ⊥ α
Теорема. Ели две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.
Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b1, параллельную прямой а.
Докажем, что прямая b1 совпадает с прямой b. Тем самым будем доказано, что а ‖ b. Допустим, что прямые b1 и b не совпадают. Тогда в плоскости β, содержащей прямые b и b1, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой с, по которой пересекаются плоскости α и β. Но это невозможно, следовательно, а ‖ b, т.е. b ∊ β, b1 ∊ β, α 
β = c (невозможно)→ а ‖ b
Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
Теорема. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.
Пусть дана плоскость α и точка М (см. рис. 2). Нужно доказать, что через точку М проходит единственная прямая с, перпендикулярная плоскости α.
Проведем прямую а в плоскости α (см. рис. 3). Согласно доказанному выше утверждению, через точку М можно провести плоскость γ перпендикулярную прямой а. Пусть прямая b – линия пересечения плоскостей α и γ.
В плоскости γ через точку М проведем прямую с, перпендикулярную прямой b.
Прямая с перпендикулярна b по построению, прямая с перпендикулярна а (так как прямая а перпендикулярна плоскости γ, а значит, и прямой с, лежащей в плоскости γ). Получаем, что прямая с перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости α. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая с перпендикулярна плоскости α. Докажем, что такая прямая с единственная.
Предположим, что существует прямая с1, проходящая через точку М и перпендикулярная плоскости α. Получаем, что прямые с и с1 перпендикулярны плоскости α. Значит, прямые с и с1 параллельны. Но по построению прямые с и с1пересекаются в точке М. Получили противоречие. Значит, существует единственная прямая, проходящая через точку М и перпендикулярная плоскости α, что и требовалось доказать.
Теоретический материал для углубленного изучения
Теорема о прямой перпендикулярной к плоскости. Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.
Доказательство (см. рис. 1)
Пусть нам дана прямая а и точка М. Докажем, что существует плоскость γ, которая проходит через точку М и которая перпендикулярна прямой а.
Через прямую а проведем плоскости α и β так, что точка М принадлежит плоскости α. Плоскости α и β пересекаются по прямой а. В плоскости α через точку М проведем перпендикуляр MN (или р) к прямой а, 
. В плоскости β из точки N восстановим перпендикуляр q к прямой а. Прямые р и q пересекаются, пусть через них проходит плоскость γ. Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым р и q из плоскости γ. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая а перпендикулярна плоскости γ.
Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля
Выбор элемента из выпадающего списка
Выпишите ребра, перпендикулярные плоскости (DC
).
Правильный вариант/варианты (или правильные комбинации вариантов):
Неправильный вариант/варианты (или комбинации):
Подсказка: в кубе все углы по 
. Плоскость (DC
), проходит через грань куба DC
.
Закончите предложение, чтобы получилось верное утверждение.
Правильный вариант/варианты (или правильные комбинации вариантов):
Две прямые называются перпендикулярными, если …
угол между ними равен 90
Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она …
перпендикулярна и другой
Неправильный вариант/варианты (или комбинации):
Лемма: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к третьей прямой.
Теорема: если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
Геометрия. 10 класс
Конспект урока
Геометрия, 10 класс
Урок № 8 Перпендикулярность прямой и плоскости
Перечень вопросов, рассматриваемых по теме
Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.
Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости
Теорема о прямой перпендикулярной к плоскости. Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 10-11 кл. Базовый и профильный уровень. М.: Просвещение, 2015. С.1-10.
Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии для 9 класса. Базовый и профильный уровень
Зив Б.Г. Геометрия. Дидактические материалы. 10-11 класс М.: Просвещение, 2015.
Открытые электронные ресурсы:
Перпендикулярность прямой и плоскости. http://school-collection.edu.ru // Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов.
Перпендикулярность прямой и плоскости. https://www.yaklass.ru // Я-класс. Образовательный портал Сколково.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой..
Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Проведем какую-нибудь прямую x в плоскости α, т.е. x ∊ α.Так как а ⊥ α, то а ⊥ x.
По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а1 ⊥ x.
Таким образом, прямая а1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т. е. а1 ⊥ α
Теорема. Ели две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.
Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b1, параллельную прямой а.
Докажем, что прямая b1 совпадает с прямой b. Тем самым будем доказано, что а ‖ b. Допустим, что прямые b1 и b не совпадают. Тогда в плоскости β, содержащей прямые b и b1, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой с, по которой пересекаются плоскости α и β. Но это невозможно, следовательно, а ‖ b, т.е. b ∊ β, b1 ∊ β, α β = c (невозможно)→ а ‖ b
Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
Теорема. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.
Пусть дана плоскость α и точка М (см. рис. 2). Нужно доказать, что через точку М проходит единственная прямая с, перпендикулярная плоскости α.
Проведем прямую а в плоскости α (см. рис. 3). Согласно доказанному выше утверждению, через точку М можно провести плоскость γ перпендикулярную прямой а. Пусть прямая b – линия пересечения плоскостей α и γ.
В плоскости γ через точку М проведем прямую с, перпендикулярную прямой b.
Прямая с перпендикулярна b по построению, прямая с перпендикулярна а (так как прямая а перпендикулярна плоскости γ, а значит, и прямой с, лежащей в плоскости γ). Получаем, что прямая с перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости α. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая с перпендикулярна плоскости α. Докажем, что такая прямая с единственная.
Предположим, что существует прямая с1, проходящая через точку М и перпендикулярная плоскости α. Получаем, что прямые с и с1 перпендикулярны плоскости α. Значит, прямые с и с1 параллельны. Но по построению прямые с и с1пересекаются в точке М. Получили противоречие. Значит, существует единственная прямая, проходящая через точку М и перпендикулярная плоскости α, что и требовалось доказать.
Теоретический материал для углубленного изучения
Теорема о прямой перпендикулярной к плоскости. Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.
Доказательство (см. рис. 1)
Пусть нам дана прямая а и точка М. Докажем, что существует плоскость γ, которая проходит через точку М и которая перпендикулярна прямой а.
Через прямую а проведем плоскости α и β так, что точка М принадлежит плоскости α. Плоскости α и β пересекаются по прямой а. В плоскости α через точку М проведем перпендикуляр MN (или р) к прямой а, . В плоскости β из точки N восстановим перпендикуляр q к прямой а. Прямые р и q пересекаются, пусть через них проходит плоскость γ. Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым р и q из плоскости γ. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая а перпендикулярна плоскости γ.
Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля
Выбор элемента из выпадающего списка
Выпишите ребра, перпендикулярные плоскости (DC).
Правильный вариант/варианты (или правильные комбинации вариантов):
Неправильный вариант/варианты (или комбинации):
Подсказка: в кубе все углы по . Плоскость (DC), проходит через грань куба DC.
Закончите предложение, чтобы получилось верное утверждение.
Правильный вариант/варианты (или правильные комбинации вариантов):
Две прямые называются перпендикулярными, если …
угол между ними равен 90
Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она …
перпендикулярна и другой
Неправильный вариант/варианты (или комбинации):
Лемма: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к третьей прямой.
Теорема: если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
Какая прямая называется перпендикулярной плоскости
Углы бывают острые, прямые и тупые.
.jpg "какая прямая называется перпендикулярной плоскости. Смотреть фото какая прямая называется перпендикулярной плоскости. Смотреть картинку какая прямая называется перпендикулярной плоскости. Картинка про какая прямая называется перпендикулярной плоскости. Фото какая прямая называется перпендикулярной плоскости")
Угол с градусной мерой 90° называется прямым. Если угол меньше 90°, его называют острым, а если больше 90° — тупым. Угол, равный 180° (то есть образующий прямую линию), называют развёрнутым.
Два угла с одной общей стороной называются смежными.
.jpg "какая прямая называется перпендикулярной плоскости. Смотреть фото какая прямая называется перпендикулярной плоскости. Смотреть картинку какая прямая называется перпендикулярной плоскости. Картинка про какая прямая называется перпендикулярной плоскости. Фото какая прямая называется перпендикулярной плоскости")
На рисунке луч ОС делит развёрнутый ∡AOB =180° на две части, образуя тупой ∡1 и острый ∡2.
Поэтому если один из смежных углов прямой, то второй также оказывается прямым: 180° – 90° = 90°
.jpg "какая прямая называется перпендикулярной плоскости. Смотреть фото какая прямая называется перпендикулярной плоскости. Смотреть картинку какая прямая называется перпендикулярной плоскости. Картинка про какая прямая называется перпендикулярной плоскости. Фото какая прямая называется перпендикулярной плоскости")
При пересечении двух прямых образуются четыре угла:
.jpg "какая прямая называется перпендикулярной плоскости. Смотреть фото какая прямая называется перпендикулярной плоскости. Смотреть картинку какая прямая называется перпендикулярной плоскости. Картинка про какая прямая называется перпендикулярной плоскости. Фото какая прямая называется перпендикулярной плоскости")
Обе стороны ∡1 также являются сторонами ∡3, а стороны ∡2 продолжают стороны ∡4. Такие углы называют вертикальными.
∡1 и ∡2 — смежные, как и ∡1 и ∡4. Следовательно:
∡1 + ∡2 = 180°
∡1 + ∡4 = 180°
∡2 = ∡4
То же справедливо и для ∡1 и ∡3.
Прямые, пересекающиеся под прямым углом, называются перпендикулярными.
.jpg "какая прямая называется перпендикулярной плоскости. Смотреть фото какая прямая называется перпендикулярной плоскости. Смотреть картинку какая прямая называется перпендикулярной плоскости. Картинка про какая прямая называется перпендикулярной плоскости. Фото какая прямая называется перпендикулярной плоскости")
∡1 равен 90°, остальные углы оказываются для него либо смежными, либо вертикальными, а значит, тоже равными 90°.
Перпендикулярность прямых принято обозначать так: a⟂b
Изучайте математику вместе с преподавателями домашней онлайн-школы «Фоксфорда»! По промокоду GEOM72021 вы получите неделю бесплатного доступа к курсу геометрии 7 класса, в котором изучаются перпендикулярные прямые!
Теорема о перпендикулярных прямых
Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, притом только одну.
Построим доказательство теоремы о перпендикулярных прямых «от противного», то есть для начала предположим, что утверждение неверно.
Возьмём прямую a, отметим на ней точки О и B. От луча OB отложим ∡BOA = 90°. Таким образом, отрезок OA будет находиться на прямой, перпендикулярной а.
.jpg "какая прямая называется перпендикулярной плоскости. Смотреть фото какая прямая называется перпендикулярной плоскости. Смотреть картинку какая прямая называется перпендикулярной плоскости. Картинка про какая прямая называется перпендикулярной плоскости. Фото какая прямая называется перпендикулярной плоскости")
Теперь предположим, что в той же полуплоскости существует другой перпендикуляр к а, проходящий через О. Назовём его OK. ∡BOK и ∡BOA, равны 90° и лежат в одной полуплоскости относительно луча OB. Но от луча OB в данной полуплоскости можно отложить только один прямой угол. Поэтому другой прямой, проходящей через О и перпендикулярной a, не существует. Теорема доказана.
Свойство перпендикулярных прямых
Две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются.
.jpg "какая прямая называется перпендикулярной плоскости. Смотреть фото какая прямая называется перпендикулярной плоскости. Смотреть картинку какая прямая называется перпендикулярной плоскости. Картинка про какая прямая называется перпендикулярной плоскости. Фото какая прямая называется перпендикулярной плоскости")
Пусть a⟂b и a⟂c. b и с не пересекаются, ведь если бы существовала точка их пересечения, значит, через неё проходили бы две прямые, перпендикулярные a, что невозможно согласно теореме о перпендикулярных прямых. Следовательно, b||с.
У нас вы сможете учиться в удобном темпе, делать упор на любимые предметы и общаться со сверстниками по всему миру.
Попробовать бесплатно
Интересное по рубрике
Найдите необходимую статью по тегам
Подпишитесь на нашу рассылку
Мы в инстаграм
Домашняя онлайн-школа
Помогаем ученикам 5–11 классов получать качественные знания в любой точке мира, совмещать учёбу со спортом и творчеством
Посмотреть
Рекомендуем прочитать
Реальный опыт семейного обучения
Звонок по России бесплатный
Посмотреть на карте
Если вы не нашли ответ на свой вопрос на нашем сайте, включая раздел «Вопросы и ответы», закажите обратный звонок. Мы скоро свяжемся с вами.