какая прямая является осью симметрии параболы

12.01.202404.06.2022 admin 0 Comments

Квадратичная функция. Построение параболы

8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Основные понятия

Функция — это зависимость «y» от «x», при которой «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию означает определить правило в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить в функцию произвольные значения и найти координаты этих точек.

Построение квадратичной функции

Квадратичная функция задается формулой y = ax 2 + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — заданные числа, обязательное условие — a ≠ 0. В уравнении существует следующее распределение:

График квадратичной функции — парабола, которая имеет следующий вид для y = x 2 :

Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент равен единице, то график имеет ту же форму, как y = x 2 при любых значениях остальных коэффициентов.

График функции y = –x 2 выглядит, как перевернутая парабола:

Зафиксируем координаты базовых точек в таблице:

Посмотрев на оба графика можно заметить их симметричность относительно оси ОХ. Отметим важные выводы:

Рассмотрим три случая:

Если a > 0, то график выглядит как-то так:

0″ height=»671″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/8ryBuyxmK9S2EbnsNc4AE5PEl_NpIg0RAM_Y_V8wUP-zREEHNgi9QoQTl8FXxoujjWRAvf3s-MPRsXsoepaLLSTHDX-ReGtrsnLQp4dW3WaEyPF2ywjVpYFXlDIpAEHoIiwlxiB7″ width=»602″>

На основе вышеизложенного ясно, что зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, у нас есть понимание, как будет выглядеть график конкретной функции.

Координаты вершины параболы также являются важным параметром графика квадратичной функции и находятся следующим способом:

Ось симметрии параболы — прямая, которая проходит через вершину параболы параллельно оси OY.

Чтобы построить график, нам нужна точка пересечения параболы с осью OY. Так как абсцисса каждой точки оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax 2 + bx + c с осью OY, нужно в уравнение вместо х подставить ноль: y(0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).

На изображении отмечены основные параметры графика квадратичной функции:

Алгоритм построения параболы

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. Наиболее удобный способ можно выбрать в соответствии с тем, как задана квадратичная функция.

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = ax 2 + bx + c.

Как строим:

В данном случае дискриминант больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ. Чтобы найти их координаты, решим уравнение:

Как строим:

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = (x + a) × (x + b)

Рассмотрим следующий пример: y = (x − 2) × (x + 1).

Как строим:

Данный вид уравнения позволяет быстро найти нули функции:

(x − 2) × (x + 1) = 0, отсюда х₁ = 2, х₂ = −1.

Определим координаты вершины параболы:

Найти точку пересечения с осью OY:

с = ab = (−2) × (1) = −2 и ей симметричная.

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим плавной прямой.

Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)

Записаться на марафон

Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)

Источник

Какая прямая является осью симметрии параболы

КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН III

§ 57. График квадратной функции

В этом параграфе мы покажем, как строится график квадратной функции у = ax 2 + bx + c. Наше рассмотрение придется разбить на ряд отдельных этапов.

Этот график строится «по точкам». Составим следующую таблицу значений функции:

Отметим соответствующие точки на плоскости координат и соединим их плавной кривой (рис. 64). Эта кривая называется параболой. На рисунке 64 парабола у = x 2 начерчена лишь при —3 3 она уходит (и притом весьма круто) все выше и выше.

Парабола у = x 2 обладает следующими основными свойствами.

1) Она лежит целиком в верхней полуплоскости. Это соответствует тому, что функция у = x 2 принимает только неотрицательные значения. В начале координат парабола касается оси абсцисс. Это самая низкая точка графика; она называется вершиной параболы.

2) Парабола симметрична относительно оси ординат. Если перегнуть рисунок 64 по оси у, то левая и правая части параболы совместятся. Это служит графической иллюстрацией того, что функция у = x 2 не меняет своих значений при изменении знака у аргумента:

Такие функции называются четными.

Сначала рассмотрим случай, когда α > 0. На рисунке 65 представлены графики функций у = αx 2 при α = 1 /₂; 1; 2.

Теперь рассмотрим случай, когда α 2 при α = — 1 /₂; —1; —2. Эти направленные вниз кривые также называются параболами. Общая вершииа —начало координат — является их наивысшей точкой. Ось ординат для каждой из этих кривых служит осью симметрии. Чем больше абсолютная величина α, тем круче ветви параболы; чем она меньше, тем положе ветви параболы.

Но это соотношение показывает, что точка М2 с координатами (х₀ — β, y₀) должна принадлежать графику второй функции. Значит, каждая точка кривой у = α(х — β) 2 получается из соответствующей точки кривой у = αx 2 (см. рис. 67) посредством переноса (или смещения) вправо по направлению оси х на расстояние β. Поэтому и вся кривая у = α(х — β) 2 получается посредством переноса кривой у = αx 2 вправо на β.