какая система сил называется динамическим винтом

Лекция 6. Приведение системы сил к простейшему виду

6.1. Постановка задачи

Везде в данной лекции мы будем предполагать, что изучаемая система приведена к некоторому центру O (как это описано ранее) и найдены ее главный вектор \(\vec R\) и главный момент \(\vec M_\). Возникает вопрос: можно ли ее дополнительно упростить, заменив другой эквивалентной системой?

Ответ на поставленный вопрос зависит от того, какая из четырех ситуаций возникнет после приведения системы к центру:

6.2. Приведение системы сил к простейшему виду на плоскости

На плоскости система сил приводится к главному вектору \(\vec R\) и паре с алгебраическим моментом m_O относительно выбранного полюса O (рис. 6.1 а).

Рис. 6.1. Приведение плоской системы сил к простейшему виду

Пусть \(\vec R\neq\vec 0\). Перенесем эту силу из центра O в некоторую точку O’, находящуюся на расстоянии d от ее линии действия. Тем самым, \(\vec R\) заменится на силу \(\vec R’\), отложенную от точки O’, и пару с моментом m’ = ± Rd (см. рис. 6.1 б). Пары с моментами m_O и m’ можно сложить, заменив их одной парой с моментом m_O + m’. Если подобрать такую точку O’, что m’ = –m_O, то две пары – прежняя и вновь полученная – уравновесят друг друга, а исходная система станет эквивалентна одному лишь вектору \(\vec R’\).

На плоскости всегда можно найти точку, удовлетворяющую указанному требованию. Более того, таких точек бесконечно много: они заполняют собой целую прямую, находящуюся на расстоянии d = |m_O/R| от линии действия силы \(\vec R\) (на заданном расстоянии находятся две прямые, но если учесть знак момента m’, одна из них оказывается лишней). Это значит, что

На плоскости любая неуравновешенная система сил приводится к равнодействующей или к паре.

Пара сил получается при \(\vec R=\vec 0\); этот случай упомянут в п. 6.1 и здесь нет смысла подробно его разбирать.

Возьмем точку O за начало координат и предположим, что в этой системе главный вектор равен \(\vec R=\;R_\>\). Пусть A(x; y) – искомая точка, куда следует перенести силу \(\vec R\), чтобы привести исходную систему сил к равнодействующей \(\vec R’\). Чтобы найти координаты точки, надо решить уравнение \(m_(\vec R)+m_=0\) относительно переменных x и y. Момент в левой части равенства можно отыскать, пользуясь теоремой Вариньона или последней из формул (3.3). Во втором случае надо учесть, что момент вычисляется относительно не точки O, а точки A, т.е. надо найти векторное произведение \(\overrightarrow\times\vec F=-\overrightarrow\times\vec F\) и изменить результат вычислений по формуле (3.3) на противоположный. В итоге получим

Это и есть общее уравнение прямой,вдоль которой надо приложить равнодействующую. При каждом конкретном x из него можно найти значение координаты y, и наоборот.

Пример. К телу приложены три силы: \(\vec F_<1>=\<-1;6\>\) в точке A₁(3; 2), \(\vec F_<2>=\<2;5\>\) в точке A₂(0; –3) и \(\vec F_<3>=\<5;-4\>\) в точке A₃(7; 2). Привести эту систему к простейшему виду.

Сначала приведем систему к началу координат O. Ее главный вектор \(\vec R=\vec F_<1>+\vec F_<2>+\vec F_<3>=\<6;7\>\), а главный момент \(m_=m_(\vec F_<1>)+m_(\vec F_<2>)+m_(\vec F_<3>)=-12\). Теперь выясним, куда следует перенести \(\vec R\), чтобы компенсировать m_O. Воспользовавшись уравнением (6.1), получим, что искомая точка лежит на прямой 7x – 6y = –12. Можно взять, к примеру, x = 0, тогда y = 2.

Итак, система приводится к равнодействующей \(\vec R’=\<6;7\>\), линия действия которой имеет уравнение 7x – 6y = –12. В частности, можно считать, что сила \(\vec R’\) приложена в точке A(0; 2).

6.3. Приведение системы сил к простейшему виду в пространстве

В пространстве главный момент \(\vec M_\) является вектором, а не числом, как на плоскости. Поэтому при приведении системы сил к простейшему виду следует рассмотреть несколько случаев взаимного расположения \(\vec R\) и \(\vec M_\). Как и в плоском случае, главным средством упрощения системы будет служить перенос вектора \(\vec R\) в другую точку.

Векторы \(\vec R\) и \(\vec M_\) перпендикулярны. Поскольку момент пары перпендикулярен плоскости ее действия, можно считать, что силы, составляющие пару с моментом \(\vec M_\), лежат в той же плоскости, что и главный вектор \(\vec R\) (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Главный вектор и главный момент перпендикулярны

Следовательно, можно воспользоваться результатами п. 6.2, перенести \(\vec R\) в другую точку O’ той же плоскости, компенсировать момент \(\vec M_\) и привести исходную систему к равнодействующей.

Векторы \(\vec R\) и \(\vec M_\) параллельны. Такую систему упростить невозможно. В самом деле, в этом случае плоскость действия пары перпендикулярна силе \(\vec R\) (рис. 6.3 а).

Рис. 6.3. Главный вектор и главный момент параллельны

Любой параллельный перенос вектора \(\vec R\) и замена его на \(\vec R’\) добавит к исходной системе пару, лежащую в той же плоскости, что и обе силы \(\vec R,\vec R’\) (рис. 6.3 б). Соответственно, ее момент будет перпендикулярен этой плоскости, а значит, составит с \(\vec M_\) угол, равный 90°. При сложении двух перпендикулярных векторов получить нулевой вектор нельзя. Исходя из теоремы о сложении пар, это значит, что первоначальная и вновь полученная пары сил, складываясь, не могут уравновесить друг друга. Таким образом, перенос главного вектора \(\vec R\) в другую точку не может упростить изучаемую систему, что и утверждалось выше.

Система, состоящая из силы и пары, момент которой коллинеарен этой силе, называется динамическим винтом, или динамой (см рис. 6.3 а). Линию действия указанной силы называют осью динамического винта.

Пример. Завинчивая шуруп, на него давят и одновременно поворачивают вокруг линии действия приложенной силы. Тем самым, к нему прикладывают динамический винт, причем ось вращения шурупа служит и осью винта (рис. 6.4).

Таким же образом сверлят отверстия с помощью дрелей и коловоротов.

Векторы \(\vec R\) и \(\vec M_\) образуют произвольный угол. Этот случай – комбинация двух предыдущих. Разложим \(\vec M_\) на две компоненты: \(\vec M_<||>\), коллинеарную \(\vec R\), и \(\vec M_<\perp>\), перпендикулярную \(\vec R\) (рис. 6.5 а).

Рис. 6.5. Главный вектор и главный момент образуют произвольный угол

Согласно теореме о сложении пар, это значит, что исходная пара, действовавшая на тело, заменена суммой двух других, плоскости действия которых перпендикулярны.

Из вышесказанного следует, что от пары с моментом \(\vec M_<\perp>\) можно избавиться, специально подобрав точку O’ и перенеся силу \(\vec R\) в эту точку (см. рис. 6.5 б). Тем самым, исходная система оказывается эквивалентной силе \(\vec R’=\vec R\), отложенной от точки O’, и паре с моментом \(\vec M_<||>\) (этот последний вектор не “привязан” к какой-либо точке). Дальнейшие упрощения невозможны: силы, образующие пару, перпендикулярны \(\vec M_<||>\), а значит, вместе с вектором \(\vec R’\) они образуют динамический винт.

Поскольку любая система сил, приложенных к твердому телу, приводится к системе “сила + пара”, а рассмотренный нами случай расположения векторов \(\vec R\) и \(\vec M_\) является наиболее общим, можно сделать вывод:

Любая пространственная система сил приводится к динаме.

И равнодействующая, и пара сил являются частными случаями динамического винта – при \(\vec M_=\vec 0\) и при \(\vec R=\vec 0\), соответственно.

Ранее было отмечено, что главный вектор \(\vec R\) не зависит от того, к какому центру приводится система сил (является инвариантом ее эквивалентных преобразований). Про главный момент \(\vec M_\) этого сказать нельзя. Однако, приводя произвольную систему сил к динаме, мы убедились: перенося \(\vec R\) из одной точки в другую, можно изменить лишь ту компоненту \(\vec M_\), которая перпендикулярна главному вектору. Компонента \(\vec M_<||>\), коллинеарная \(\vec R\), при таких преобразованиях остается неизменной. Она и является вторым инвариантом системы сил.

Замечание. Не зависит от выбора центра приведения O и величина \(\vec R\cdot\vec M_\). В самом деле, \(\vec R\cdot\vec M_=\vec R\cdot(\vec M_<||>+\vec M_<\perp>)=\vec R\cdot\vec M_<||>\), поскольку \(\vec R\cdot\vec M_<\perp>=0\). Однако и \(\vec R\), и \(M_<||>\) постоянны. Это и подтверждает сделанный вывод.

Пользуясь неизменностью \(M_<||>\), найдем уравнение винтовой оси. Пусть система сил приведена к центру O и найдены ее главный вектор \(\vec R=\;R_;R_\>\) и главный момент \(\vec M_=\;M_;M_\>\). Пусть также A(x; y; z) – точка на оси винта, к которому мы хотим преобразовать систему. Введем прямоугольную систему координат Oxyz с началом в точке O. Векторы \(\vec R\) и \(\vec M_<||>\) коллинеарны, значит, их соответственные координаты пропорциональны:

Остается вычислить \(\vec M_<||>\). Выше было сказано, что \(\vec M_=\vec M_<||>+\vec M_<\perp>\), причем слагаемое \(\vec M_<\perp>\) должно исчезнуть после переноса \(\vec R\) из точки O в точку A. При таком переносе к исходной системе присоединяется пара с моментом \(\overrightarrow\times\vec R\), “уничтожающим” \(\vec M_<\perp>\). Значит, для любой точки A на оси винта должно выполняться равенство

Заменив \(\overrightarrow\) на \(-\overrightarrow\) и подставив (6.3) в (6.2), получим:

Это и есть искомое уравнение винтовой оси. В координатах оно выглядит следующим образом:

Замечание. Если \(\vec M_\cdot\vec R=0\), то главный вектор и главный момент перпендикулярны, а значит, система сил приводится к равнодействующей. В этом случае \(\vec M_<||>=\vec 0\) и из (6.3) следует, что \(\vec M_=\overrightarrow\times\vec R\). Расписывая это равенство в проекциях на координатные оси, получим уравнения линии действия равнодействующей \(\vec R\), аналогичные (6.4): M_x = yR_z – zR_y, M_y = zR_x – xR_z, M_z = xR_y – yR_x. Хотя количество этих уравнений (три) равно количеству неизвестных в них (x, y, z), ее решение не единственно; именно поэтому она задает не одну точку, а целую прямую. Дело в том, что из трех уравнений независимыми будут лишь два.

Найдем также момент пары \(\vec M_<||>\), входящей в динаму. Для этого вычислим проекцию исходного главного момента \(\vec M_\) на направление \(\vec R\). Пусть \(\vec e=\vec R/R\) – единичный вектор, сонаправленный с \(\vec R\) (рис. 6.6).

Тогда числовая величина \(\vec M_<||>\) составляет

а для нахождения вектора \(\vec M_<||>\) следует умножить ее на уже упомянутый вектор \(\vec e\):

Знак M_|| в (6.5 а) показывает, будут ли \(\vec R\) и \(\vec M_<||>\) сонаправлены (“+”) или направлены противоположно (“–”).

Пример. Система сил приведена к началу координат O: ее главный вектор и главный момент равны, соответственно, \(\vec R=\<6;2;3\>\) и \(\vec M_=\<5;9;-2\>\). Привести ее к простейшему виду.

Очевидно, \(\vec R\neq\vec 0\). Поскольку и \(\vec R\cdot\vec M_=42\neq 0\), то M_|| ≠ 0, т.е. система приводится не к равнодействующей или паре, а к динаме. Величина главного вектора \(R=\sqrt<6^2+2^2+3^2>=7\) Н. Подставляя ее в формулу (6.5 а), получим величину момента пары, входящей в динаму: M_|| = 42/7 = 6 Н·м. Чтобы найти момент пары в векторной форме, воспользуемся формулой (6.5 б):

Наконец, из (6.4) следует, что винтовая ось имеет уравнение

В частности, при x = –1 из этого уравнения получается, что y = 3/7 и z = 5/7. Поэтому можно считать, например, что главный вектор \(\vec R\) полученного динамического винта отложен от точки с координатами (–1; 3/7; 5/7).

Вместо динамического винта систему сил можно приводить к двум силам, приложенным вдоль скрещивающихся прямых (рис. 6.7 а).

Такая система эквивалентна динаме. В самом деле, пусть линии действия сил \(\vec F_<1>\) и \(\vec F_<2>\) скрещиваются. Перенесем силу \(\vec F_<1>\) в точку приложения \(\vec F_<2>\), присоединив к системе пару с соответствующим моментом. Воспользовавшись правилом параллелограмма, заменим \(\vec F_<1>\) и \(\vec F_<2>\) одной силой \(\vec R\) (см. рис. 6.7 б). Но система из одной силы и одной пары, как показано в настоящей лекции, приводится к динамическому винту.

Вопросы для самоконтроля

Задачи к лекции

Ответы. 1. Равнодействующая \(\vec R=\<10;15\>\) прикладывается вдоль прямой 3x – 2y = –9. 2. Система приводится к равнодействующей \(\vec R=\<9;-3;2\>\), приложенной вдоль прямой, задаваемой уравнениями 2y + 3z = –1, 2x + 9z = 17, x – 3y = 7.

Также рекомендуется решить задачи из §7 [2]; РГР С6 [3].

Источник

динамический винт

Смотреть что такое “динамический винт” в других словарях:

динамический винт — силовой винт Нрк динама Совокупность силы и пары сил, лежащей в плоскости, перпендикулярной к этой силе. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 102. Теоретическая механика. Академия наук СССР. Комитет научно технической терминологии. 1984 г.]… … Справочник технического переводчика

силовой винт — динамический винт; силовой винт; отрасл. динама Совокупность силы и пары сил, лежащей в плоскости, перпендикулярной к этой силе … Политехнический терминологический толковый словарь

динама — динамический винт; силовой винт; отрасл. динама Совокупность силы и пары сил, лежащей в плоскости, перпендикулярной к этой силе … Политехнический терминологический толковый словарь

центральная ось системы сил — центральная ось Прямая, являющаяся геометрическим местом точек, при приведении к которым данная система сил образует динамический винт. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 102. Теоретическая механика. Академия наук СССР. Комитет научно… … Справочник технического переводчика

Ка-50 — на авиасалоне в Ле Бур … Википедия

вертолёт — летательный аппарат тяжелее воздуха, у которого подъёмная сила и тяга для горизонтального полёта создаются одним или двумя т. н. несущими винтами. Вертолёт может взлетать вертикально с места без разбега и садиться без пробежки, он может… … Энциклопедия техники

Ми-24 — Ми 24 … Википедия

вертолёт — Рис. 1. Основные схемы вертолётов. вертолёт — летательный аппарат, у которого подъёмная сила и пропульсивная сила для горизонтального полёта создаются одним или несколькими несущими винтами (НВ). В. может совершать вертикальные взлет и… … Энциклопедия «Авиация»

вертолёт — Рис. 1. Основные схемы вертолётов. вертолёт — летательный аппарат, у которого подъёмная сила и пропульсивная сила для горизонтального полёта создаются одним или несколькими несущими винтами (НВ). В. может совершать вертикальные взлет и… … Энциклопедия «Авиация»

Ми — Рис. 1. Эмблема вертолётов марки Ми. Ми — марка вертолётов, созданных в ОКБ, возглавлявшемся М. Л. Милем (см. Московский вертолётный завод имени М. Л. Миля). При жизни Миля марка (рис. 1) присваивалась вертолёту при запуске его в серию.… … Энциклопедия «Авиация»

Источник

Вопрос №21. Доказать общий случай приведения произвольной пространственной системы сил к динамическому винту.

Совокупность силы, равной главному вектору, и пары сил с моментом, равным главному моменту, коллинеарным главному векто­ру, называется динамическим винтом или динамой.

Пусть в произвольном центре О система сил приведена к главному вектору R и главному моменту М₀.

Разложим главный момент М₀ на две составляющие (рис. 1.34), направленные по главному вектору и перпендикулярно к нему:

Величина вектора М*, равная проекции главного момента на направление главного вектора, не зависит от выбора центра приведения, т.е.

Точка О не единственная, в которой система приводится к динаме. В самом деле, силу R можно переносить вдоль линии ее действия, момент же пары сил есть вектор свободный. Следовательно, система сил может быть приведена к динаме во всех точках прямой, проходя­щей через центр приведения О* и являющейся линией действия главно­го вектора R1 = R.

Геометрическое место центров приведения, относительно которых главный момент коллинеарен главному вектору, называется центральной осью данной системы сил.

Так как на центральной оси главный момент имеет минималь­ное значение, эта ось называется осью наименьших главных моментов.

Найдем теперь уравнение центральной оси. Пусть О* точка цен­тральной оси. Тогда

Условие коллинеарности главного вектора и главного момента для точ­ки О* записываем следующим образом:

Т.к. величина минимального момента М* определяется формулой (2), то

Очевидно, что знак параметра определяется знаком второго инварианта. При р > 0, R и М* направлены в одну сторону.

Подставляя в формулу (4) значение минимального момента М* из (3), получим

Таким образом нами получено уравнение центральной оси в векторной форме, причем текущей координатой является вектор ОО*. Если координаты векторов М₀, R и ОО* обозначить

Итак, всякая система сил, действующая на твердое тело, для которой второй инвариант не равен нулю, приводится к динаме.

Источник

Приведение системы сил к простейшему виду

Приведение системы сил к центру

Вопросы

Лекция 6

3. Условия равновесия произвольной системы сил

1. Рассмотрим произвольную систему сил . Выберем произвольную точку О за центр приведения и, воспользовавшись теоремой о параллельном переносе силы, перенесем все силы системы в данную точку, не забывая при переносе каждой силы добавлять присоединенную пару сил.

Полученную таким образом систему сходящихся сил заменим одной силой , равной главному вектору исходной системы сил. Образовавшуюся при переносе систему пар сил заменим одной парой с моментом , равным геометрической сумме моментов всех пар сил ( т.е. геометрической суммой моментов исходной системы сил относительно центра О).

Такой момент называется главным моментом системы сил относительно центра О (рис. 1.30).

Рис. 1.30. Приведение системы сил к центру

2. Приведение системы сил к простейшему виду

Возможность дальнейшего упрощения произвольных систем сил зависит от значения их главного вектора и главного момента, а также от удачного выбор центра приведения. При этом возможны следующие случаи:

a) , . В данном случае система приводится к паре сил с моментом , значение которого не зависит от выбора центра приведения.

б) , . Система приводится к равнодействующей, равной , линия действия которой проходит через центр О.

в) , и взаимно перпендикулярны. Система приводится к равнодействующей, равной , но не проходящей через центр О (рис. 1.31).

Рис. 1.31. Приведение системы сил к равнодействующей

Заменим главный момент парой сил , как показано на рис. 1.31. Определим R из условия, что M₀ = R h. Затем отбросим на основании второй аксиомы статики уравновешенную систему двух сил , приложенных в точке О.

г) и параллельны. Система приводится к динамическому винту, с осью, проходящей через центр О (рис. 1.32).

Рис. 1.32. Динамический винт

д) и не равны нулю и при этом главный вектор и главный момент не параллельны и не перпендикулярны друг другу. Система приводится к динамическому винту, но ось не проходит через центр О (рис. 1.33).

Рис. 1.33. Самый общий случай приведения системы сил

Источник