Неевклидова геометрия что это

Неевклидовы геометрии

Попыток создать геометрию, отличную от евклидовой, было множество. Загвоздка была в том самом постулате о параллельных прямых, который никак не удавалось доказать. И постепенно ученые стали приходить к мысли, что можно построить такую геометрию, где пятый постулат будет отличаться от евклидова. Над этим работали и Карл Гаусс, и Янош Бояи, но первопроходцем стал Николай Иванович Лобачевский, который в 1829 г. опубликовал свои «Начала геометрии». Он оставил первые четыре постулата, но заменил пятый.

Пятый постулат Лобачевского утверждает, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие ее, в то время как в евклидовой геометрии через эту точку можно провести только одну такую прямую.

Иногда ошибочно думают, что в геометрии Лобачевского две параллельные прямые пересекаются, но это не так. Более того, в неевклидовой геометрии вообще ничего не говорится о параллельных прямых — только о непересекающихся. Дело в том, что пространство, в котором действует геометрия Лобачевского, обладает отрицательной кривизной. Такое пространство можно вообразить, если представить себе геометрические тела, похожие на воронку и седло. Во всяком случае, неевклидова геометрия, в отличие от евклидовой, реализуется в искривленном пространстве. А ведь сейчас считается, что пространство нашей Вселенной обладает кривизной. Связана неевклидова геометрия и с теорией относительности Эйнштейна. А евклидова геометрия тоже верна, но является ее частным случаем.

Еще одна геометрия

В науке известны три великие геометрии — Евклида, Лобачевского и Римана. Геометрия Римана реализуется на сфере, и там все прямые пересекаются. Но их при этом нельзя назвать параллельными. Дело в том, что параллельные прямые, согласно своему определению, не пересекаются ни в одной геометрии.

Источник

НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ

НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ, геометрия, сходная с геометрией Евклида в том, что в ней определено движение фигур, но отличающаяся от евклидовой геометрии тем, что один из пяти ее постулатов (второй или пятый) заменен его отрицанием. Отрицание одного из евклидовых постулатов (1825) явилось значительным событием в истории мысли, ибо послужило первым шагом на пути к теории относительности.

Второй постулат Евклида утверждает, что любой отрезок прямой можно неограниченно продолжить. Евклид, по-видимому, считал, что этот постулат содержит в себе и утверждение, что прямая имеет бесконечную длину. Однако в «эллиптической» геометрии любая прямая конечна и, подобно окружности, замкнута.

Пятый постулат утверждает, что если прямая пересекает две данные прямые так, что два внутренних угла по одну сторону от нее в сумме меньше двух прямых углов, то эти две прямые, если продолжить их неограниченно, пересекутся с той стороны, где сумма этих углов меньше суммы двух прямых. Но в «гиперболической» геометрии может существовать прямая CB (рис. 1), перпендикулярная в точке С к заданной прямой r и пересекающая другую прямую s под острым углом в точке B, но, тем не менее бесконечные прямые r и s никогда не пересекутся.

Из этих пересмотренных постулатов следовало, что сумма углов треугольника, равная 180 ° в евклидовой геометрии, больше 180 ° в эллиптической геометрии и меньше 180 ° в гиперболической геометрии.

История.

Первым неевклидовым геометром, вероятно, можно считать самого Евклида. Его нежелание использовать «несамоочевидный» пятый постулат следует хотя бы из того, что свои первые двадцать восемь предложений Евклид доказывает, не прибегая к этому постулату. С первого века до н.э. до 1820 математики пытались вывести пятый постулат из остальных, но преуспели лишь в замене его различными эквивалентными допущениями, такими, как «две параллельные линии всюду равно удалены друг от друга» или «любые три точки, не расположенные на одной прямой, принадлежат окружности». Ближе всех подошел к цели иезуит, логик и математик Дж.Саккери (1667–1733), который начал свои исследования с так называемого четырехугольника Саккери (рис. 2), т.е. с четырехугольника BCED, у которого BC = DE, а углы при вершинах C и E прямые. Заметив, что углы при вершинах B и D обязательно равны, Саккери рассмотрел поочередно три гипотезы: верхние углы четырехугольника тупые, прямые и острые. Он доказал, что любая из этих гипотез, если ее принять для какого-нибудь одного такого четырехугольника, остается в силе для всех таких четырехугольников. Саккери намеревался обосновать гипотезу о том, что верхние углы прямые, доказав, что любая другая гипотеза приводит к противоречию. Вскоре он отверг гипотезу о тупом угле (и тем самым лишил себя возможности открыть эллиптическую геометрию), поскольку, как и все геометры до 1854, рассматривал второй постулат как утверждение о том, что прямая имеет бесконечную длину, и отказываться от этого постулата он не хотел. Точно также Саккери в конце концов отверг и гипотезу об остром угле, но прежде, чем принять это ошибочное решение, он, сам того не ведая, открыл многие теоремы геометрии, получившей впоследствии название гиперболической.

К.Гаусса (1777–1855) принято считать одним из величайших математиков всех времен. Он первым подошел к проблеме с современной точки зрения, согласно которой геометрию, отрицающую пятый постулат, надлежит развивать ради нее самой, не ожидая, что при этом возникнет какое-то противоречие. Письма Гаусса к друзьям говорят о том, что к 1816 он преодолел традиционный предрассудок относительно неизбежности противоречия и развил «антиевклидову» геометрию, удовлетворяющую гипотезе Саккери об остром угле. Но, опасаясь насмешек, он воздерживался от публикации этих идей и тем самым позволил разделить честь открытия гиперболической геометрии (примерно в 1825) венгру Я.Бойяи (1802–1860) и русскому Н.И.Лобачевскому (1793–1856). Бойяи опубликовал свою работу до того, как услышал о Лобачевском, а последний, судя по всему, так никогда и не узнал об исследованиях Бойяи.

В 1854 Б.Риман (1826–1866) заметил, что из неограниченности пространства еще не следует его бесконечная протяженность. Смысл этого утверждения станет яснее, если представить, что в неограниченной, но конечной вселенной астроном в принципе мог бы увидеть в телескоп, обладающий достаточно высокой разрешающей способностью, свой собственный затылок (если отвлечься от небольшой детали, связанной с тем, что свет, отраженный от затылка, достиг бы глаза астронома через тысячи миллионов лет). В своем доказательстве того, что внешний угол при любой вершине треугольника больше внутреннего угла при любой из двух остальных вершин, Евклид неявно использовал бесконечную длину прямой. Из этой теоремы тотчас же следует теорема о том, что сумма любых двух углов треугольника меньше суммы двух прямых углов. Если отказаться от бесконечной длины прямой, то гипотеза Саккери о тупом угле становиться верной и из нее следует, что сумма углов треугольника больше суммы двух прямых. Такое положение дел было давно известно в сферической тригонометрии, где стороны треугольника являются дугами больших кругов. Риман внес эпохальный вклад, распространив представление о конечном, но неограниченном пространстве с двух на три и большее число измерений.

Эллиптическая плоскость.

Такое представление с помощью диаметров и диаметральных плоскостей сферы (при котором диаметр, соединяющий северный и южный полюсы сферы, является «полюсом» экватора), показывает, что все свойства действительной проективной плоскости сохраняются и для эллиптической плоскости.

Геометрия порядка.

Один из подходов к построению гиперболической геометрии исходит из некоторых фундаментальных аксиом порядка, справедливых и в евклидовой, но не в эллиптической геометрии. Если считать «точки» исходными понятиями, то запись [ABC] означает, что точка B лежит «между» точками A и C (это первичное отношение мы принимаем, не пытаясь его определить). Первые четыре аксиомы порядка утверждают, что 1) существует по крайней мере две точки; 2) если A и B – две различные точки, то существует по крайней мере одна точка C, для которой [ABC]; 3) эта точка C отлична от точки A и 4) порядок [ABC] влечет за собой [CBA], но не [BCA]. «Отрезок» AB, по определению, состоит из точек P, для которых [APB], а «луч» A/B («исходящий из A в другую сторону, чем B») – из точек Q, для которых [QAB]. «Прямая» AB состоит из отрезка AB, точек A, B и двух лучей A/B, B/A. Пятая аксиома утверждает, что если C и D – различные точки на прямой AB, то A лежит на прямой CD (из этой же аксиомы следует, что прямые AB и CD совпадают). Шестая аксиома дает нам точку вне данной прямой, а седьмая, сформулированная М.Пашем (1843–1931), позволяет определить плоскость как множество всех точек, коллинеарных с парами точек на одной или двух сторонах данного треугольника.

Абсолютная геометрия.

Множество прямых, параллельных данному лучу, называется «пучком параллельных»; он содержит единственную прямую, проходящую через любую заданную точку. Следуя аналогии с обычным пучком (состоящим из всех прямых, проходящих через точку), мы можем считать, что пучок параллельных определяет «бесконечно удаленную точку», или, по терминологии Д.Гильберта (1862–1943), «конец». Вместо того, чтобы говорить, что два луча (или две прямые) параллельны или что они принадлежат некоторому пучку параллельных M, мы говорим, что два луча имеют общий конец M. Луч, проходящий через точку C и принадлежащий данному пучку параллельных, принято обозначать CM, как если бы это был отрезок; тот же символ CM можно использовать и для обозначения всей прямой. Если BM и CM – параллельные лучи, то фигура MCB называется «асимптотическим треугольником», поскольку она во многом ведет себя, как обычный треугольник. В частности, два асимптотических треугольника конгруэнтны, если у них имеется по конгруэнтной стороне и конгруэнтному углу.

Гиперболическая плоскость.

Из абсолютной геометрии Бойяи можно вывести евклидову геометрию, добавив евклидову (или аффинную) аксиому: через точку B, не лежащую на данной прямой r, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Гиперболическую геометрию можно вывести из абсолютной геометрии, добавив гиперболическую аксиому, повторяющую только что приведенную, но без отрицания «не» во втором случае. Таким образом, лучи BM и BN на рис. 4 могут быть оба параллельны r, а если M и N их концы, то r называется «прямой MN». Любая прямая, например t, являющаяся продолжением стороны угла Р NBM, образует с r пару «гиперпараллельных», т.е. пару прямых, которые не пересекаются и не параллельны. Две такие прямые имеют единственный общий перпендикуляр. Множество прямых, перпендикулярных данной прямой a, называются «пучком гиперпараллельных» с «осью» a.

Одной из самых прекрасных страниц в литературе по неевклидовой геометрии со времен Лобачевского считается предложенное Г.Либманом доказательство того, что площадь треугольника остается конечной, когда две (или три) его стороны становятся бесконечными. Доказательство сводится к разбиению асимптотического треугольника на бесконечную последовательность конечных треугольников и перекладыванию их с соблюдением одного условия: все они должны умещаться внутри некоторого конечного пятиугольника. Метод Либмана восполняет один из двух недостающих шагов в предложенном Гауссом красивом доказательстве того, что площадь любого треугольника пропорциональна его «угловому дефекту» – величине, показывающей, насколько сумма углов треугольника меньше двух прямых. Аналогия с выражением (A + B + C) – p для площади сферического треугольника (на единичной сфере) наводит на мысль о естественной единице измерения, при которой площадь треугольника ABC просто равна p –(A + B + C). Используя эту единицу, Лобачевский выразил угол параллельности, соответствующий расстоянию x, формулой

Кривые, ортогональные обычному пучку прямых, имеют вид концентрических окружностей; кривые, ортогональные пучку параллельных, имеют вид концентрических «орициклов». В действительности орицикл – это предельная форма окружности, центр которой уходит в бесконечность (так, что диаметры окружности становятся параллельными).

Евклидовы модели неевклидовых геометрий.

Ф.Вахтер (1792–1817) за несколько месяцев до безвременной кончины сообщил в письме к Гауссу о своем наблюдении: если пятый постулат Евклида ложен, то сфера, радиус которой стремиться к бесконечности, приближается к предельной поверхности, чья внутренняя геометрия совпадает с геометрией евклидовой плоскости. Тем самым Вахтер предвосхитил появление «орисферы», сыгравшей важную роль в работах Бойяи и Лобачевского. Эта поверхность получается при вращении орицикла вокруг любого из его диаметров. Кривые на орисфере, которые ведут себя, как евклидовы прямые, – орициклы, по которым орисферу пересекают ее диаметральные плоскости.

Источник

Неевклидова геометрия

Неевклидова геометрия — в буквальном понимании — любая геометрическая система, отличная от геометрии Евклида; однако традиционно термин «неевклидова геометрия» применяется в более узком смысле и относится только к двум геометрическим системам: геометрии Лобачевского и сферической геометрии.

Как и евклидова, эти геометрии относятся к метрическим геометриям пространства постоянной кривизны. Нулевая кривизна соответствует евклидовой геометрии, положительная — сферической, отрицательная — геометрии Лобачевского.

Содержание

Метрика для плоскости

Вид метрики для однородных планиметрий зависит от выбранной системы (криволинейных) координат; далее приводятся формулы для случая полугеодезических координат:

История понятия

См. также

Литература

Полезное

Смотреть что такое «Неевклидова геометрия» в других словарях:

НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ — геометрия, сходная с геометрией Евклида в том, что в ней определено движение фигур, но отличающаяся от евклидовой геометрии тем, что один из пяти ее постулатов (второй или пятый) заменен его отрицанием. Отрицание одного из евклидовых постулатов… … Энциклопедия Кольера

Неевклидова геометрия — см. Геометрия, Лобачевский и Пангеометрия … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

неевклидова геометрия — неевкл идова геом етрия, неевкл идовой геом етрии … Русский орфографический словарь

неевклидова геометрия — … Орфографический словарь русского языка

неевклидова — (геометрия) … Орфографический словарь-справочник

Геометрия Лобачевского — (1) евклидова геометрия; (2) геометрия Римана; (3) геометрия Лобачевского Геометрия Лобачевского (гип … Википедия

Геометрия — (от др. греч. γῆ Земля и μετρέω «мерю») раздел математики, изучающий пространственные структуры, отношения и их обобщения[1]. Содержание … Википедия

Геометрия Римана — Не следует путать с Риманова геометрия. Геометрия Римана (эллиптическая геометрия) одна из трёх «великих геометрий» (Евклида, Лобачевского и Римана). Если геометрия Евклида реализуется на поверхностях с постоянной нулевой гауссовой… … Википедия

ГЕОМЕТРИЯ — раздел математики, занимающийся изучением свойств различных фигур (точек, линий, углов, двумерных и трехмерных объектов), их размеров и взаимного расположения. Для удобства преподавания геометрию подразделяют на планиметрию и стереометрию. В… … Энциклопедия Кольера

неевклидова — *неевкли/дова (геометрия) … Слитно. Раздельно. Через дефис.

Источник

Неевклидовы геометрии

Полезное

Смотреть что такое «Неевклидовы геометрии» в других словарях:

НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ — геометрические системы, отличные от евклидовой геометрии. Среди неевклидовых геометрий особое значение имеет Лобачевского геометрия … Большой Энциклопедический словарь

НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ — в буквальном понимании все геометрич. системы, отличные от геометрии Евклида; однако обычно термин Н. г. применяется лишь к геометрич. системам (отличным от геометрии Евклида), в к рых определено движение фигур, причем с той же степенью свободы,… … Математическая энциклопедия

неевклидовы геометрии — геометрические системы, отличные от евклидовой геометрии. Среди неевклидовой геометрии особое значение имеет Лобачевского геометрия. * * * НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ, геометрические системы, отличные от евклидовой геометрии.… … Энциклопедический словарь

НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ — геом. системы, отличные от евклидовой геометрии. Среди Н. г. особое значение имеет Лобачевского геометрия … Естествознание. Энциклопедический словарь

История математики — История науки … Википедия

Математика Древнего Востока — История науки По тематике Математика Естественные науки … Википедия

Лобачевского геометрия — геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная Евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского. Евклидова аксиома о параллельных гласит:… … Большая советская энциклопедия

ПРОСТРАНСТВО — фундаментальное (наряду с временем) понятие человеческого мышления, отображающее множественный характер существования мира, его неоднородность. Множество предметов, объектов, данных в человеческом восприятии одновременно, формирует сложный… … Философская энциклопедия

ЛОБАЧЕВСКОГО ГЕОМЕТРИЯ — геометрия, основанная на тех же основных посылках, что и евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных (см. Пятый постулат). В евклидовой геометрии согласно этой аксиоме на плоскости через точку Р, лежащую вне прямой А А, проходит… … Математическая энциклопедия

Римана геометрия — эллиптическая геометрия, одна из неевклидовых геометрий (См. Неевклидовы геометрии), т. е. геометрическая теория, основанная на аксиомах, требования которых (в значительной части) отличны от требований аксиом евклидовой геометрии (См.… … Большая советская энциклопедия

Источник

Неевклидова геометрия

что можно понимать как:

Через точку вне линии всегда проходит параллель этой линии, и только одна.

Резюме

Интуитивный подход к неевклидовой геометрии

В 1902 году Анри Пуанкаре предложил простую модель, в которой пятый постулат Евклида не действовал. Линия здесь определяется продолжением как кривая кратчайшего пути, соединяющая две точки рассматриваемого пространства.

«Предположим, что мир заключен в большую сферу и подчиняется следующим законам: температура в нем неоднородна; он максимален в центре и уменьшается по мере удаления от него, а затем уменьшается до абсолютного нуля, когда человек достигает сферы, в которой заключен этот мир. [. ] Движущийся объект будет становиться все меньше и меньше по мере приближения к предельной сфере. Прежде всего отметим, что если этот мир ограничен с точки зрения нашей обычной геометрии, он будет казаться его обитателям бесконечным. Когда они действительно хотят приблизиться к предельной сфере, они остывают и становятся все меньше и меньше. Поэтому шаги, которые они делают, становятся все меньше и меньше, так что они никогда не смогут достичь предельной сферы. «Глава 4« Пространство геометрии »

Этьен Гиз комментирует этот текст следующим образом:

«Существа, населяющие этот мир, не могут знать, что они становятся меньше, потому что, если они измеряют себя рулеткой, рулетка также становится меньше. Мы знаем, что они становятся все меньше, но у них нормальная и стабильная жизнь. Если они хотят перейти из одной точки в другую по кратчайшему маршруту, мы думаем, что они будут стремиться приблизиться к центру, потому что их шаги гораздо больше к центру.

Через точку проходит бесконечное количество параллелей. И эти люди разумны, они не знают, что становятся меньше. Но они так же разумны, как и мы, которые, вероятно, игнорируют многие другие вещи.

Мораль этой небольшой истории о Пуанкаре состоит в том, что мы можем очень хорошо представить себе множество чрезвычайно разумных миров, каждый из которых имеет свою собственную геометрию, каждый имеет свою собственную логику и каждый из которых может дать нам видение нашего конкретного мира […].

Сегодняшний математик, чтобы решить проблему, изучить вопрос, будет использовать геометрию, возьмет свой набор инструментов и выберет наиболее подходящую геометрию для понимания изучаемой проблемы.

Вот предложение Пуанкаре: одна геометрия не может быть вернее другой, она просто может быть удобнее. «

История неевклидовых геометрий

В n- мерных геометрий и неевклидовы геометрия две отдельные ветви геометрии, которые могут быть объединены, но не обязательно. В популярной литературе возникла путаница в отношении этих двух геометрий. Поскольку евклидова геометрия была двухмерной или трехмерной, был сделан ошибочный вывод, что неевклидова геометрия обязательно должна иметь более высокие измерения.

древность

Взявшись за работу Саккери в 1766 году, Иоганн Генрих Ламберт принимает гипотезу об остром угле, но не приходит к выводу о противоречии. Он осознает, по крайней мере в самые последние годы своей жизни, что должно быть возможно строить когерентные геометрии либо на основе гипотезы острого угла (гиперболическая геометрия), либо на основе гипотезы тупого угла (эллиптическая геометрия).

Гаусс еще в 1813 году сформулировал возможность существования других геометрий, отличных от геометрии Евклида. Однако он так и не решился опубликовать результаты своих размышлений в этом направлении, «опасаясь криков беотийцев», как писал сам.

Геометрия, обычно называемая «геометрией Римана», представляет собой трехмерное сферическое пространство, конечное пространство, но без ограничений, с регулярной положительной кривизной, альтернативу евклидовому постулату параллелей. Риман также разработал расширенную теорию неевклидовых n- мерных геометрий (конференция 1854 г.).

Идея «неевклидовой геометрии» обычно подразумевает идею искривленного пространства, но геометрия пространственной кривой является представлением геометрии неевклидовой, говорит Дункан Соммервиль (in) в «Элементах неевклидовой геометрии» ( Лондон, 1914 г.). Есть трехмерные неевклидовы пространства.

Различные типы неевклидовой геометрии

Гиперболическая геометрия

Эллиптическая геометрия

Эта геометрия дает положительную кривизну пространства (сумма углов треугольника больше двух правых, или сумма двух последовательных углов четырехугольника больше двух правых, или существует треугольник, у которого все углы прямые. ).

Источник