Непозиционная система что это
Системы счисления
В книге рассказывается о позиционных и не позиционных системах счисления, приводятся примеры вычислений в разных системах и задания для самостоятельной работы.Книга адресуется учащимся школ, гимназий, лицеев, а также широкому кругу читателей.
Оглавление
Приведённый ознакомительный фрагмент книги Системы счисления предоставлен нашим книжным партнёром — компанией ЛитРес.
Непозиционные системы счисления
В самой простейшей системе счисления для записи чисел используется только одна цифра. Такая система записи чисел называется единичной (унарной), так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака (единицы), которую можно изобразить в виде палочки, кружочка или любой другой фигуры.
Числа в этой системе будут записываться примерно так:
Такая система счисления в основном использовалась народами, не имеющими письменности. Иногда подобной системой счисления пользуются и современные люди, например, отмечая зарубками количество прошедших дней, или карандашом отмечая черточками или точками в тетради количество проданных товаров.
Единичная система — не самый удобный способ записи чисел. Запись больших чисел получается очень длинной и неудобной. С течением времени возникли другие, более удобные, системы счисления.
В непозиционной системе счисления абсолютно неважно, где стоит цифра — на первом или последнем месте. Для определения значения числа нужно сложить (или отнять) все числовые значения. Арифметические действия в непозиционных системах счисления очень неудобны и сложны.
Для обозначения чисел многие народы использовали существующие алфавиты. Такие системы счисления называются алфавитными. Алфавитные системы счисления использовались в Древней Греции, Руси, Риме.
Древние египтяне, Ацтеки и племена Майя для записи чисел использовали специальные символы (цифры). Разные цифры обозначались различными символами. Такие системы называются аддитивными.
Несмотря на то, что непозиционные системы счисления использовались человечеством на протяжении длительного периода, они были далеки от совершенства и имели ряд существенных недостатков: с их помощью нельзя было представлять дробные и отрицательные числа; возникали проблемы при записи очень больших чисел и самый главный недостаток — сложность выполнения арифметических операций.
Системы счисления. Непозиционные системы счисления.
В непозиционных системах счисления величина, обозначающая цифру, не зависит от положения в числе. К тому же, система может накладывать ограничения на расстановку цифр, например, чтобы цифры располагались по убыванию.
Существуют такие непозиционные системы счисления:
— Единичная система счисления,
— Пятеричная система счисления (Счёт на пятки́),
— Древнеегипетская система счисления,
— Вавилонская система счисления,
— Алфавитные системы счисления,
— Еврейская система счисления,
— Греческая система счисления,
— Римская система счисления,
— Система счисления майя,
Рассмотрим некоторые из, приведенных выше, систем счисления.
Единичная система счисления.
С первых попыток научиться считать у людей возникла необходимость записи чисел. Сначала это было легко — зарубка либо черточка на любой поверхности отвечала за один предмет. Таким образом возникла первая система счисления — единичная.
Число в единичной системе счисления представляет собой строку из черточек (палочек), количество которых равно значению данного числа. Таким образом, урожай из 100 фиников будет равен числу, состоящему из 100 черточек.
В более позднее время для упрощения восприятия больших чисел, эти знаки стали группировать по три или по пять. Далее равнообъёмные группы знаков начали заменять новым знаком — так возникли прообразы современных цифр.
У данной системы есть значительные недостатки — чем больше число, тем длиннее строка из палочек. Кроме того, существует большая вероятность в записи числа, пропустив или случайно дописав палочку.
Изначально в счете использовали пальцы рук, поэтому первые знаки появились для групп из 5 и 10 штук (единиц). Все это позволило создать более удобные системы записи чисел.
Древнеегипетская десятичная система счисления.
В Древнем Египте использовали свои символы (цифры) для обозначения чисел 1, 10, 102, 103, 104, 105, 106, 107. Вот некоторые из них:
Почему мы ее называем десятичной? Как указано выше — люди начали группировать символы. В Египте — решили группировать по 10, оставив без изменений цифру “1”. Здесь, число 10 называется основанием десятичной системы счисления, а все символы — представление числа 10 в определенной степени.
Числа в древнеегипетской системе счисления записывали, в виде комбинаций таких символов, и все они повторялись не больше 9 раз. Результатом было сумма элементов числа. Этот метод получения значения свойственен каждой непозиционной системе счисления. Для примера посмотрите на запись числа 345:
Вавилонская шестидесятеричная система счисления.
В вавилонской системе счисления использовали только 2 символа: “прямой” клин — для единиц и “лежащий” — для десятков. Для определения значения числа нужно изображение числа разбить на разряды справа налево. Новый разряд начинается с появления прямого клина после лежачего. Для примера посмотрим на число 32:
Число 60 и все его степени так же обозначаются прямым клином, что и “1”. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной системы счисления.
Все числа от 1 до 59 вавилоняне записывали в десятичной непозиционной системе, а значения больше 59 — в позиционной с основанием 60. Например, число 92:
Запись числа была не конкретной, так как не было цифры, которая обозначала бы нуль. Представление числа 92 могло обозначать не только 92=60+32, но и, например, 3632=3600+32. Для определения абсолютного значения числа они ввели новый символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда, что соответствует появлению цифры 0 в записи десятичного числа:
Значит, число 3632 записывают так:
Шестидесятеричная вавилонская система — первая система счисления, которая частично основана на позиционном принципе. Эту систему счисления используют и сейчас, например, для определения времени — час состоит из 60 минут, а минута из 60 секунд.
Римская система счисления.
Римская система счисления немного похожа с египетской. Здесь для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 используют заглавные латинские буквы I, V, X, L, C, D и M соответственно. Число в римской системе счисления — это набор стоящих подряд цифр.
Способы определения значения числа:
Непозиционные системы счисления
Здравствуйте, на этой странице рассмотрим одну из важных тем в информатике – а именно непозиционные системы счисления. Здесь вы узнаете, что является непозиционными системами, и познакомитесь с основными определениями, которые относятся к этой теме. Также затронем их отличия от позиционных нумераций и приведем достоинства и недостатки.
Определение непозиционной системы счисления
Непозиционными являются нумерации, где положение цифры в числе (разряд) не влияет на её значение.
Чтобы разобраться конкретно в том, что здесь написано, выберем самое популярное исчисление, которое называется десятичным. Вы все с ним знакомы. Им пользуются люди в большинстве стран мира. Алфавит десятичной нумерации состоит из арабских знаков – чисел от 0 до 9. Данный вид записи является позиционным. Почему, спросите вы? Всё просто. В качестве примера приведем два числа – 1000 и 10. Смотрите на цифру один – в зависимости от того, какое место она занимает в числе, меняется значение, которое она обозначает. В числе 1000 – тысячи, а 10 – десятки.
В непозиционных представлениях все обстоит совсем иначе. Давайте приведем в пример Римскую нотацию. Её вы тоже видели и с ней знакомы. Вспомните – в книгах по истории с помощью неё представляются века и номера монархов. Как пример, Петр I или Иван IV Грозный. Обратите внимание на I и IV, которые в арабском виде запишутся как 1 и 4. Здесь значение единицы не изменяется от того, какое место она занимает. На первом месте она стоит или на втором – неважно.
Историками считается, что исчисления, которые называются непозиционными, ведут свои корни от глубокой древности – это первые формы для счета, которые использовал человек. Поговорим дальше про их виды и разберем недостатки.
Примеры непозиционных систем счисления
Унарная непозиционная
Еще называется непозиционной единичной. Скорее всего, вы уже догадались, почему она так называется. Дело в том, что в этой форме записи используется только один знак. Это представление применяли древнейшие люди. Для записи значений использовались насечки на костях животных или стенах пещеры. Также в обиходе были зарубки на дереве. Используется до сих пор. Вспомните сериалы, где заключенные отсчитывают свои дни в неволе. Также применяется для обучения детей счету – так называемый пальцевый метод.
Унарная сс – отметки на кости
Римская непозиционная
Её мы уже привели выше. Используется до сих пор. В качестве алфавита здесь применяются латинские буквы, такие как V, I, D, M, C, X, L. Всё остальное же получается с помощью различного написания этих символов – здесь используются принципы вычитания и сложения. Так если младший разряд записывается перед старшим, то он вычитается. Если же наоборот, то складывается. Есть у неё и еще одна особенность – нет 0, который является отсутствием числа. Ниже приведена небольшая табличка с расшифровкой римских цифр.
Римское непозиционное счисление появилось в Риме на самом пике процветания империи. Однако и после того как империя распалась этим счислением пользовались еще очень долго. Она использовалась в Европе до 1200х годов, пока великий математик Леонардо Фибоначчи не издал трактат – “Книга Абака”. В нем ученый показывал превосходство позиционных систем над непозиционными.
Египетская непозиционная
Возникла в третьем тысячелетии до нашей эры. Все значения записывались здесь с помощью иероглифов. Каких-то особых правил здесь не существовало – все числовые значения просто складывались. Также не было и правил, которые относятся к записи – последовательность могла быть записана, как слева на право, так и справа налево. Иероглифы могли занимать любой разряд. Ниже приведена табличка со значениями некоторых из них.
Алфавитные системы счисления
Стоит отметить эти формы записи. Здесь все очень просто – каждой букве алфавита сопоставлялась цифра. Стоит отметить, что эти непозиционные системы являются более совершенными, чем все предыдущие, поскольку имелись обозначения десятков и сотен. К недостаткам можно отнести их сложность. Здесь можно выбрать два популярных примера.
Славянская
Использовалась нашими предками во времена древней Руси. Первые записи о ней в летописи временных лет появляются с начала десятого века. Каждой букве глаголицы соответствовало некоторое число. Полностью вышла из использования во времена Российской Империи в восемнадцатом веке, её место заняло десятичное исчисление. Пользуемся мы им, и посей день.
Греческая
Она же называется непозиционной новогреческой или ионийской. Упоминания о ней датируются третьим веком до нашей эры. Здесь счет велся буквами, которые употреблялись в римской письменности. Пришла на смену старогреческому формату. По сути, непозиционное кириллическое представление является её копией.
Достоинства и недостатки. Возможность использования в информатике и других науках.
К достоинствам можно отнести только их простоту. Как мы уже говорили выше, та же унарная непозиционная система применяется для обучения детей. Однако недостатков у них гораздо больше и они очень существенные:
Всё эти недостатки делают их использование в математике и информатике непрактичным.
Заключение
В качестве итогов можно сказать, что после прочтения этого материала вы имеете полное представление о том, что называется непозиционными системами счисления, овладели нужным определением. Знаете виды, которые использовали разные народы в различных частях земного шара. Теперь вы имеете представление о том, как считали люди в Риме, Египте, Греции и древней Руси. Знаете их плюсы и минусы. Понимаете, почему нельзя использовать их в информатике. Как по мне тема достаточно легкая, но очень интересная. При возникновении вопросов задайте их в комментариях к этой записи. Буду рад на них ответить. Также вы можете почитать другие материалы, которые затрагивают информатику на нашем сайте.
Какие системы счисления называются непозиционными
Что таоке непозиционная система счисления в информатике
В информатике используют позиционный и непозиционный метод записи чисел. Позиционный способ предполагает представление числовых обозначений в определенной последовательности для сохранения величины числа.
Непозиционная система счисления – это способ записи числа с помощью символов, в котором изменение положения знаков не влияет на значение величины числа.
Разновидности непозиционных систем счисления с примерами
Существует несколько видов непозиционной системы исчисления.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Биномиальная
В данном методе для записи чисел применяются биноминальные коэффициенты.
Биноминальные коэффициенты – это объединение количества сочетаний, определенное лишь для неотрицательных целых чисел. Такие обобщения зачастую возникают в задачах, требующих перебора всех возможных вариантов ответов, а также в теории вероятности.
Число x в рассматриваемой системе представляет собой сумму биноминальных коэффициентов:
Биноминальные числа бывают:
Пример преобразования матричной формы в линейную:
Каждой составляющей матрицы соответствует один биноминальный коэффициент. При сложении коэффициентов, соответствующих единицам в матрице, получится количественный эквивалент.
Применение биноминальных чисел:
Греческая
Греческая система счисления – это метод представления числа с помощью букв греческого алфавита и некоторых знаков доклассического периода. Другие названия данного способа – ионийская, новогреческая.
В Греции рассматриваемый алфавитный способ записи чисел стал применяться в III веке до н.э. Буквы греческого алфавита соответствуют следующим числам:
С помощью ионийской системы можно записать лишь числа от 1 до 999.
Римская
Римская система исчисления – это метод числовой записи посредством использования символов латинского алфавита.
Соответствие букв латиницы числовому значению:
Для представления чисел десятичной системы счисления в виде римских букв работают следующие правила:
При переводе числа 67 в римскую систему счисления получаем следующий набор латинских букв: LXVII = (50 + 10) + (5 + 2) = 60 + 7.
Применение данной системы исчисления:
Древнеегипетская
Способ записи чисел, используемый в Древнем Египте, основывался на иероглифах. С помощью этих символов записывались основные числа 1, 10, 100 и т.д. Другие числовые значения получались с помощью сложения ключевых чисел.
Действие производилось в следующей последовательности:
Вавилонская
Вавилонская система исчисления – это позиционный метод записи чисел с основанием 60, применявшийся в Древнем Вавилоне. Это первая известная шестидесятеричная система.
В данной системе счисления числа записываются справа налево в порядке убывания: сотни, десятки, единицы. Досчитав до 60, отмечают новый числовой ряд, запись чисел вновь начинается с 1.
Цифрами вавилонского числового метода считались клинья, разные для записи единиц, десятков и нуля.
В измерении времени: час состоит из 60 минут, а минуты – из 60 секунд.
В измерении углов: градус равен 60 минутам, а минута – 60 секундам.
Система счисления майя
Цифры майя – это позиционная запись чисел с основанием 20, используемая племенами майя.
Рассматриваемый способ исчисления состоял из нуля и 19 сложных цифр. Ноль имел обозначение пустой ракушки. Цифры составлялись из точки и горизонтальной черточки. Точка означала единицу, черта – пятерку.
Цифры майя применялась в календарных расчетах. В бытовых целях использовали непозиционный метод записи. Об этом свидетельствует то, что в позиционной системе счисления цивилизации майя имеется больше чисел, чем необходимые 12.
Непозиционные системы счисления
Непозиционной называется система, в которой число представляется совокупностью узловых и алгебраических чисел. Положение цифры в записи при этом не имеет значения.
Немного истории
Непозиционная система была одной из первых, которую стали использовать люди. Самой древней из них является египетская (2,5-3 тыс. лет до нашей эры). Числа в ней записывались с помощью иероглифов, которые подчинялись «принципу сложения». Аналогичный принцип был у греческой, римской и других систем счисления древности.
Древнеегипетская система
В древнеегипетской системе счисления в качестве цифр использовались единица и десятичные разряды: 10, 100, 1000 и так далее.
Поэтому запись чисел в данной системе была еще более длинной, по сравнению с римской:
Римская система
Римские числа знакомы всем еще со школы. Алфавит этой системы счисления состоит из цифр 1, 5 и ряда десятичных разрядов:
| 1 | 5 | 10 | 50 | 100 | 500 | 1000 |
| I | V | X | L | C | D | M |
Данные основные (узловые) числа используются для записи других чисел путем сложения ли вычитания меньшего числа из большего. При этом числа I, X, C, M не повторяются более трех раз, а V, L, D не могут идти друг за другом вовсе.
Запись больших чисел в такой системе выглядит громоздко:
2589 = 2000 + 500 + 80 + 9 = MM + D + LXXX + IX = MMDLXXXIX
И правильно прочитать его, следует мысленно разбить его на разряды.
Древнегреческая система
В основе данного вида счисления Древней Греции лежал алфавит, схожий с римским:
| 1 | 5 | 10 | 100 | 1000 | 10000 |
| I | Г | Δ | H | X | M |
Затем ему на смену пришел ионийский, который предполагал использование букв греческого алфавита.
Чтобы записать какое-либо число, греки использовали принцип совокупности используемых цифр. Из прочих непозиционных систем греческая является наиболее упрощенной.
Минусы непозиционных систем
Основная сложность работы с данными системами счисления состоит в записи больших чисел. Их написание может быть слишком объемным и сложным для чтения. Если же упрощать запись за счет введения новых цифр, как в греческой системе, требуется создавать большой алфавит, что тоже неудобно.