какая геометрическая фигура лежит в основании конуса

Из огромного перечня математических заданий часто встречаются задачи, связанные с темой «Конус». На уроках геометрии школьники должны усвоить основные понятия и названия всех элементов этой фигуры и понять, как и по каким формулам производится расчет нужных параметров.

О данной геометрической фигуре пойдёт речь в сегодняшней статье.

Определение и элементы конуса

Под конусом понимают тело, состоящее из круга и точки, которая удалена от его поверхности на определённое расстояние.

При этом точка соединяется с основанием посредством проведения лучей, которые называются образующими. Линия, соединяющая центр круга с удалённой точкой, является высотой данной фигуры.

Обратите внимание! Также существует такое понятие, как ось конуса. Это линия, проходящая через его центр и совпадающая с высотой. Образующие строятся относительно оси.

Хотелось бы рассмотреть ещё несколько понятий по этой теме:

1. Под конусностью понимают отношение диаметра основания фигуры и её высоты:

Важно! Конусность отвечает за угол наклона образующих. Чем больше данный параметр, тем острее угол.

2. Осевое сечение предполагает наличие плоскости, которая будет рассекать фигуру, проходя через ось:

3. Касательная— это плоскость, которая соприкасается с образующей конуса. При этом важно, чтобы она была перпендикулярна осевому сечению.

Свойства кругового конуса

Выделяют несколько особенностей, которыми обладает фигура данного типа:

Образующие кругового конуса равны друг другу.

Чтобы найти центр тяжести фигуры, нужно её высоту поделить на четыре части.

Место пересечения плоскости сечения и основы образует параболу. Если через вершину тела провести плоскость сечения, то получится равнобедренный треугольник.

Интересный факт! Если вращать прямоугольный треугольник вокруг одного из катетов, то получится конус. При этом важно, чтобы угол вращения был не менее 360 градусов.

Общая формула объёма фигуры

Чтобы найти объём кругового конуса, необходимо умножить число Пи на его высоту, на радиус в квадрате и всё это произведение поделить на три:

Дополнительная информация! Чтобы узнать объём фигуры, нужно умножить площадь её основы на высоту и поделить на три:

Объём усечённого конуса

Это часть прямого конуса, которая находится в пространстве между основой и плоскостью, параллельной этому основанию. В общем виде выглядит следующим образом:

Объём данного тела можно вычислить по формуле:

Важно! S и S ₁ это площади соответствующих основ, которые равняются ПR 2 и ПR ₁ 2 При нахождении этих значений поможет онлайн калькулятор.

Площадь поверхности фигуры

Для вычисления данного параметра потребуется знать площадь боковой поверхности. Она равняется произведению числа π, радиуса и длины образующей.

Чтобы рассчитать площадь всей поверхности, нужно сложить площади его основы и боковой поверхности.

Площадь усечённого конуса

Для нахождения данного параметра нужно воспользоваться формулами:

площади боковой поверхности усечённого конуса S_бок;

полной площади усечённой фигуры S_пол, которая равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности:

Уравнение конуса

Часто требуется при решении математических задач. Записывается в следующем виде:

где x₀, y_0,z₀— координаты по соответствующим осям.

Таким образом, в данной статье были представлены основные сведения, которые могут понадобиться при решении задач на тему «Конус».

Источник

Геометрические тела. Конус.

Конус — геометрическое тело в евклидовом пространстве, которое можно получить путем объединения каждого луча, который исходит из одной точки (вершина конуса) и которые проходят через плоскую поверхность.

Бывает, конусом называется часть тела, которая имеет ограниченный объём и которая получена путем объединения каждого отрезка, которые соединяют вершину и точки плоской поверхности. Последняя, в таком случае, является основанием конуса, а конус называется опирающимся на данное основание.

Когда основание конуса является многоугольником – это уже пирамида.

Отрезки, которые соединяют вершину конуса и точки окружности основания, называют образующими конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

Прямой конус – это конус, в котором прямая, которая соединяет вершину конуса и центр основания, перпендикулярна плоскости основания.

Прямой круговой конус – это тело, которое получено вращением прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси.

Высота конуса – это перпендикуляр, который опущен из вершины конуса на плоскость основания. Основание высоты в прямом конусе совпадает с центром основания.

Ось прямого кругового конуса – это прямая, которая содержит его высоту.

Сечение конуса плоскостью, который проходит через вершину конуса – это равнобедренный треугольник, боковые стороны этого треугольника являются образующими конуса.

Равнобедренным треугольником оказывается и осевое сечение конуса. Это сечение, проходящее через ось конуса.

Плоскость, которая параллельна основанию конуса и которая пересекает конус, отсекает от него конус меньшего размера. Оставшаяся часть является усеченным конусом.

Площадь боковой поверхности правильной n-угольной пирамиды, вписанной в конус:

То есть, площадь боковой поверхности конуса определяют с помощью формулы:

где R — радиус основания конуса, а l — длина образующей.

По тому же принципу: для площади боковой поверхности усеченного конуса с радиусами оснований R₁, R₂ и образующей l получаем такую формулу:

Прямой и косой круговой конусы с равным основанием и высотой. Эти тела обладают одинаковым объёмом:

Свойства конуса.

где S — площадь основания, H — высота.

Т.о., каждый конус, который опирается на это основание и имеющие вершину, которая находится на плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, так как их высоты одинаковые.

где α — угол раствора конуса.

а полная площадь поверхности (то есть сумма площадей боковой поверхности и основания), формула:

где R — радиус основания, l — длина образующей.

где S₁ и S₂ — площадь верхнего и нижнего оснований,

h и H — расстояния от плоскости верхнего и нижнего основания до вершины.

Источник

Что такое конус: определение. Основание, вершина, высота конуса

Определение фигуры

Предположим, что имеется некоторая плоская замкнутая кривая, например окружность или эллипс. В пространстве выберем некоторую точку, которая не принадлежит плоскости указанной кривой. Теперь соединим ее с каждой точкой на кривой при помощи прямых отрезков. Полученная фигура дает ответ на вопрос о том, что такое конус. На фото ниже показаны три конуса, изготовленные из бумаги.

Вам будет интересно: Подберем рифму к слову «капля»

Исходная замкнутая кривая называется директрисой или направляющей фигуры. Фиксированная точка в пространстве, упомянутая выше, называется вершиной конуса. Прямые отрезки, которые соединяют вершину с точками на директрисе, получили название генератрис, или образующих.

Рассматриваемая фигура образует некоторую поверхность, поэтому объемом не обладает. Если же внутри эту фигуру заполнить каким-либо веществом, то у нее появится некоторый объем. Полученное твердое тело также называется конусом.

Элементы конуса

Вам будет интересно: Абашевская культура бронзового века: локализация, археологические находки

Под элементами фигуры понимают геометрические объекты, из которых она состоит. Зная, что такое конус, можно сказать, что основными его элементами являются следующие:

Виды конуса

Мы узнали, что такое конус. Теперь перейдем к рассмотрению вопроса о том, какие виды фигур бывают.

В зависимости от кривой, находящейся в основании, говорят о конусе круглом, эллиптическом, гиперболическом, параболическом и так далее. Кроме того, фигура может быть прямой и наклонной. Чтобы понять разницу между ними, следует познакомиться с понятием высоты.

В большинстве геометрических задач рассматривают прямой конус с круглым основанием. Далее в статье дадим подробную характеристику этой фигуре.

Как можно получить круглый прямой конус?

В результате описанного способа получения круглого конуса образуется фигура, имеющая радиус основания a и высоту b. Катет b является частью оси конуса, которая проходит через его вершину и центр основания. Гипотенуза исходного треугольника будет генератрисой фигуры.

Схема выше показывает, как можно получить конус, вращая прямоугольный треугольник вокруг одного из катетов.

Линейные характеристики круглого прямого конуса

Фигура образована кругом некоторого радиуса r и конической поверхностью. Пусть высота конуса равна h. Указанные две линейные характеристики являются основными. Их знание позволяет вычислить любые параметры фигуры, например, длину его генератрис, площадь поверхности и объем.

Поскольку рассматриваемая фигура является прямой, то длины всех его генератрис равны между собой. Если обозначить их длину буквой d, тогда формула для ее вычисления будет иметь вид:

Нетрудно догадаться, откуда взялась эта формула. Она является результатом применения теоремы Пифагора к соответствующему прямоугольному треугольнику. Отметим, что генератриса конуса всегда больше радиуса его основания, независимо от значения величины h.

Данное выражение позволяет по двум известным линейным величинам определить третью. Например, если известны d и h, тогда радиус круга в основании будет равен:

Поверхность и объем

S = pi*r2 + pi*r*√(r2 + h2).

Объем конуса произвольного типа рассчитывается по следующей формуле:

Здесь символом So обозначена площадь основания. Заметим, что аналогичная формула и у объема пирамиды. Это совпадение не является случайным, поскольку увеличение числа граней пирамиды до бесконечности переводит ее в конус.

Записанная формула для случая прямого круглого конуса приобретает конкретный вид:

Здесь множитель pi*r2 является площадью основания (круга).

Таким образом, объем прямого конуса, основанием которого является круг, равен одной трети объема цилиндра, имеющего тот же радиус и ту же высоту.

Источник

Геометрические тела. Конус.

Конус — геометрическое тело в евклидовом пространстве, которое можно получить путем объединения каждого луча, который исходит из одной точки (вершина конуса) и которые проходят через плоскую поверхность.

Бывает, конусом называется часть тела, которая имеет ограниченный объём и которая получена путем объединения каждого отрезка, которые соединяют вершину и точки плоской поверхности. Последняя, в таком случае, является основанием конуса, а конус называется опирающимся на данное основание.

Когда основание конуса является многоугольником – это уже пирамида.

Отрезки, которые соединяют вершину конуса и точки окружности основания, называют образующими конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

Прямой конус – это конус, в котором прямая, которая соединяет вершину конуса и центр основания, перпендикулярна плоскости основания.

Прямой круговой конус – это тело, которое получено вращением прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси.

Высота конуса – это перпендикуляр, который опущен из вершины конуса на плоскость основания. Основание высоты в прямом конусе совпадает с центром основания.

Ось прямого кругового конуса – это прямая, которая содержит его высоту.

Сечение конуса плоскостью, который проходит через вершину конуса – это равнобедренный треугольник, боковые стороны этого треугольника являются образующими конуса.

Равнобедренным треугольником оказывается и осевое сечение конуса. Это сечение, проходящее через ось конуса.

Плоскость, которая параллельна основанию конуса и которая пересекает конус, отсекает от него конус меньшего размера. Оставшаяся часть является усеченным конусом.

Площадь боковой поверхности правильной n-угольной пирамиды, вписанной в конус:

То есть, площадь боковой поверхности конуса определяют с помощью формулы:

где R — радиус основания конуса, а l — длина образующей.

По тому же принципу: для площади боковой поверхности усеченного конуса с радиусами оснований R₁, R₂ и образующей l получаем такую формулу:

Прямой и косой круговой конусы с равным основанием и высотой. Эти тела обладают одинаковым объёмом:

Свойства конуса.

где S — площадь основания, H — высота.

Т.о., каждый конус, который опирается на это основание и имеющие вершину, которая находится на плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, так как их высоты одинаковые.

где α — угол раствора конуса.

а полная площадь поверхности (то есть сумма площадей боковой поверхности и основания), формула:

где R — радиус основания, l — длина образующей.

где S₁ и S₂ — площадь верхнего и нижнего оснований,

h и H — расстояния от плоскости верхнего и нижнего основания до вершины.

Источник

Что такое конус: определение, элементы, виды

В данной публикации мы рассмотрим определение, основные элементы и виды одной из самых распространенных фигур в пространстве – конуса. Представленная информация сопровождается соответствующими рисунками для лучшего восприятия.

Определение конуса

Далее мы будем рассматривать самый распространенный вид конуса – прямой круговой. Остальные возможные варианты фигуры перечислены в последнем разделе публикации.

Итак, прямой круговой конус – это трехмерная геометрическая фигура, полученная путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из своих катетов, который в данном случае будет являться осью фигуры. Ввиду этого иногда такой конус называют конусом вращения.

Конус на рисунке выше получен в результате вращения прямоугольного треугольника ACD (или BCD) вокруг катета CD.

Основные элементы конуса

Между образующей конуса, его высотой и радиусом основания есть взаимосвязь (согласно теореме Пифагора):

Развёртка конуса – боковая поверхность конуса, развернутая в плоскость; является круговым сектором.

Примечание: Основные свойства конуса мы рассмотрели в отдельной публикации.

Источник