какая геометрическая фигура лежит в основе пчелиных сот
Геометрия пчелиных сот: размеры и форма ячеек
Пчелиные соты – это архитектурный шедевр, создаваемый насекомыми. Геометрия этой конструкции определяет такие ее свойства, как высокая прочность на разрыв и максимальная вместимость при минимальных затратах материала.
Пчелиные соты. Иллюстрация для статьи используется с сайта infourok.ru
Анализ пространственной структуры сот
Соты представляют собой пространственную фигуру, которую можно назвать объемным паркетом. Это значит, что они имеют такую форму и стыкуются друг с другом таким образом, что между ними нет незаполненного объема.
Ячейка пчелиных сот – это правильная шестигранная призма, у которой дно образовано частью трехгранного угла с гранями в виде ромбов.
Каждая ячейка соприкасается с 6 другими всеми своими гранями, без зазоров, донышки с 1 стороны сот примыкают к донцам ячеек, расположенных с обратной стороны.
Внутренние углы шестиугольников неизменны и равны 120°, тогда как углы ромбов основания варьируют в пределах от 93 до 117°, причем в этих величинах прослеживается сезонная зависимость: весной они меньше. Из геометрических соображений следует, что ячейки с меньшими углами ромбов донышка имеют больший объем и, соответственно, более вместительны.
Пчелиные соты. Иллюстрация для статьи используется с сайта infourok.ru
Последнее обстоятельство необходимо принимать во внимание при изготовлении искусственных вощин. В соответствии с ГОСТом предприятия выпускают вощину, в которой величина угла ромба в гранях донца составляет 120-140°. При таких параметрах ячейки количество молочка, которое пчелы-кормилицы помещают в нее для питания личинки, может оказаться недостаточным для развития полноценной пчелиной особи.
Параметры ячеек пчелиных сот разных видов
Геометрия пчелиных сот имеет свои особенности для разных видов ячеек. По функциональному назначению и структуре их можно разделить на пчелиные, медовые, маточники, трутневые, переходные и крайние. На каждом соте присутствуют сразу несколько разновидностей, но преобладают пчелиные.
Эти камеры предназначены для выращивания рабочих пчел и имеют следующие параметры:
Самый большой приплод рабочих особей получается в ячейках диаметром 5,30-5,37 мм и углом основания 95 и 102-112°.
Высота такой призмы составляет 10-11 мм, поэтому толщина сотов до запечатывания личинок равна 22 мм, а после – 25 мм.
Средний объем пустой камеры имеет величину 0,28 мм³, но это пространство впоследствии частично заполняется остатками кокона, поэтому пчелам приходится дополнительно достраивать ячею. На ее изготовление уходит в целом 13 мг воска, причем пчелы южных районов в естественных условиях делают более компактные конструкции, чем их северные собратья.
Пчелиные соты. Иллюстрация для статьи используется с сайта p2pfinancenews.co.uk
Личинки трутней, будучи существенно крупнее, требуют большего пространства. Ячейки, в которых они вызревают, имеют диаметр 6,9-7,0 мм и глубину 14-16 мм. На их формирование пчелы расходуют 30 мг воска.
Как и пчелиные, трутневые камеры имеют форму шестигранных призм, расположенных перпендикулярно плоскости сота. И в тех, и в других, не только выращиваются взрослые особи, но также хранятся запасы меда, хотя в трутневых не обнаруживают пергу. Этот вид ячеек запечатывается выпуклыми крышечками.
Медовые ячейки по форме похожи на описанные выше разновидности с тем отличием, что их верхние края загнуты кверху – мед и жидкий нектар благодаря этому не вытекают. Кроме того, эти хранилища в 2 раза глубже, чем инкубаторы для личинок: их глубина превышает 20 мм.
Самые крупные камеры предназначены для маток и строятся только по мере необходимости. Эти ячейки напоминают по форме свисающие желуди, прикрепленные к похожим на блюдечки основаниям. Внутри маточники гладкие, а их наружная поверхность – бугристая. Длина таких “желудей” – до 25 мм, пчелы не используют их в качестве контейнеров для меда или перги.
Ячейки переходного типа строятся для заполнения пространства между пчелиными и трутневыми зонами, а крайнего – для закрепления сотов на рамке, поэтому они имеют неправильную форму и разные размеры.
Принцип построения сот используется в технике для создания компактных конструкций, обладающих высокой прочностью.
Почему пчелы строят шестигранные соты
Что такое пчелиные соты
Пчелиные медовые соты – восковые ячейки, предназначенные для хранения нектара и его преобразования в мед. Также в сотах выращивают маленьких пчелок (расплод). Строится восковая конструкция из воска, который выделяется вместе с секретом специальных желез. Пчелы тратят в среднем 10–15 мг воска на постройку одной соты.
Почему соты шестиугольные
Восковые ячейки с золотым сладким нектаром – не что иное, как произведение искусства в инженерии. В основе конструкции шестиугольник правильной формы, окруженный множеством ячеек той же формы.
Живший в Древней Греции философ Папп Александрийский полагал, что у пчел есть уникальная способность – геометрическое предвидение. И был уверен, что такими знаниями насекомых мог наделить только Господь. Существовало и множество других теорий, которые были основаны на домыслах и рассуждениях.
Чарлз Дарвин не был уверен ни в одной из них, и отвергал их реалистичность. Он долгое время проводил эксперименты в попытках выяснить, смогут ли медоносные насекомые построить восковые ячейки идеальной формы, руководствуясь лишь врожденными и приобретенными навыками, о чем гласит теория эволюции.
Дарвина все равно мучил один и тот же вопрос – почему соты шестиугольные? Оказалось, это имеет довольно простое объяснение. Если вы попробуете заполнить любую плоскость так, чтобы не осталось пустых мест, подходящими будут всего три геометрические фигуры, стороны и углы у которых равны, а именно:
Выбирая из вышеперечисленных фигур, можно отметить, что оптимальный вариант – шестиугольник. Ячейки такой формы требуют меньшей длины и ширины перегородок, чего нельзя сказать о квадратах и треугольниках такой же площади.
Почему пчелы делают соты в виде шестиугольника? Любовь медоносных насекомых к гексагонам вполне оправданна и поддается логическому объяснению.
Чтобы производить воск для строительства ячеек, пчелы используют много времени и энергетических ресурсов. Именно поэтому они стараются сократить количество расходуемого на строительство материала. Для наглядности можно обратить внимание на строителей, которые всячески стараются минимизировать затраты на кирпичи и необходимые для стройки материалы.
Сделать такой вывод удалось лишь в XVIII веке. Чарлз Дарвин объяснил, что шестигранная форма – это идеальный вариант фигуры, которая сокращает затраты воска и пчелиного труда.
Строение и назначение сот
Восковые медовые ячейки уже давно признаны людьми как объект с идеальным строением с точки зрения архитектуры. Они занимают минимум пространства, при этом оставаясь эффективным и вместительным хранилищем для медового нектара.
Восковые ячейки для хранения меда подразделяют на несколько типов:
Назначение пчелиных сот
В жизни большой пчелиной семьи восковые медовые ячейки имеют множество различных и важных функций:
Каждая из перечисленных функций очень важна для жителей улья или пасеки.
Опытные пчеловоды существенно облегчают работу пчел, сокращая расход времени на построение сотовой конструкции. Благодаря этому у насекомых появляется больше времени на сбор и изготовление медового продукта.
Особенности хранения
Медовые соты ничем не уступают в полезных свойствах самому меду. Именно поэтому так важно знать, как правильно хранить их в домашних условиях. В сотовом меде содержится натуральный прополис, который выступает в роли консерванта природного происхождения.
Помните о том, что существуют факторы, которые могут значительно сократить срок годности и качество пчелиных сот. К ним относятся:
Кроме всех перечисленных причин, которые могут нанести существенный урон сотовому меду, помните о том, что соты отлично впитывают посторонние запахи.
Соты следует упаковывать отдельно и хранить подальше от продуктов с резким ароматом.
Сотовый мед хранится в жидком виде около 3 лет, при соблюдении условий хранения.
Вкусовые качества и польза восковых сот делают их важным и незаменимым продуктом для человека. Сотовый мед долго хранится, благодаря чему вы сможете в любое время года порадовать себя ароматным медовым чаем или вкуснейшей выпечкой с добавлением пчелиного продукта.
Пчелиная экономия: почему природа предпочитает шестиугольники?
Ксения Донская
При достаточной наблюдательности в живой природе легко обнаружить строгую геометрию. В особом почете оказываются гексагоны — правильные шестиугольники. Почему их так любят пчелы и архитекторы и какие у них преимущества с точки зрения физики, рассказал английский ученый и научный журналист Филип Болл. «Теории и практики» перевели отрывок из книги «Закономерности в природе: Почему живой мир выглядит так, как выглядит», опубликованный на сайте Nautilus.
Как пчелам это удается? Соты, в которых они хранят золотистый нектар, — это чудеса инженерного искусства, набор ячеек в форме призмы с правильным шестиугольником в основании. Толщина восковых стенок строго определена, ячейки немного отклоняются от горизонтали, чтобы вязкий мед не вытекал, и соты находятся в равновесии с учетом влияния магнитного поля Земли. А ведь эту конструкцию без чертежей и прогнозов строят множество пчел, которые одновременно работают и координируют свои попытки сделать соты одинаковыми.
Древнегреческий философ Папп Александрийский думал, что пчелы, должно быть, наделены «геометрическим предвидением». И кто, если не Господь, мог одарить их такой мудростью? Как писал английский энтомолог Уильям Керби в середине XIX века, пчелы — «математики от Бога». Чарльз Дарвин не был в этом уверен и проводил эксперименты, чтобы установить, могут ли пчелы строить идеальные соты, используя лишь приобретенные и врожденные способности, как предполагалось в его теории эволюции. Но все же почему шестиугольник? Это чисто геометрический вопрос. Если вы хотите сложить вместе несколько одинаковых по форме и размерам ячеек таким образом, чтобы они заполняли всю плоскость, подойдут только три правильные фигуры (с равными сторонами и углами): равносторонние треугольники, квадраты и гексагоны. Если выбирать из этих вариантов, то шестиугольные соты потребуют наименьшей общей длины перегородок, в отличие от треугольников и квадратов той же площади. Поэтому в пчелиной любви к гексагонам есть смысл: на изготовление воска тратится энергия, и они стараются минимизировать расходы — точно так же, как строители пытаются сэкономить на стоимости кирпичей. К такому выводу пришли в XVIII веке, и Дарвин объявил, что соты из правильных шестиугольников «идеальны для экономии труда и воска».
Дарвин думал, что естественный отбор наделил пчел инстинктами для строительства восковых ячеек, у которых есть весомое преимущество: на них нужно тратить меньше времени и энергии, чем на соты других форм. И хотя кажется, что пчелы действительно обладают особыми способностями в том, что касается измерения углов и толщины стен, мнения ученых по поводу того, насколько активно насекомые их используют, расходятся, поскольку скопления шестиугольников встречаются в природе довольно часто.
Если вы подуете на пузырьки на поверхности воды, чтобы согнать их вместе, то они приобретут форму шестиугольников — или, по крайней мере, приблизятся к ней. Вы никогда не увидите скопище квадратных пузырей: если даже четыре стенки соприкоснутся, они немедленно перестроятся в конструкцию с тремя сторонами, между которыми будут примерно равные углы в 120 градусов — что-то вроде центра эмблемы «Мерседеса».
Очевидно, нет никаких организмов, которые работали бы над этими склеенными пузырями, как пчелы над сотами. Рисунок образуется исключительно благодаря законам физики. Так же очевидно, что у этих законов есть определенные предпочтения: например, склонность к трехстороннему соединению стенок пузырей. Аналогичная вещь происходит и с пеной, которая сложнее по строению. Если вы дуете через соломинку в мыльную воду и создаете «гору» пузырей в трехмерном пространстве, вы видите, что их стенки при соприкосновении всегда создают четырехсторонний союз и пересекающиеся мембраны находятся под углом около 109 градусов — это угол, который имеет непосредственное отношение к тетраэдру.
Что определяет форму пузырей и закономерности образования «развилок» мыльных стенок? Природа еще более озабочена экономией, чем пчелы. Пузыри и мыльная пленка состоят из воды (и слоя мыльных молекул), и поверхностное натяжение сжимает поверхность жидкости таким образом, чтобы она занимала наименьшую площадь. Поэтому капли дождя при падении принимают форму, близкую к сферической: у сферы наименьшая площадь поверхности по сравнению с другими фигурами того же объема. На восковом листке капли воды сжимаются в маленькие бусинки по той же причине.
Поверхностное натяжение объясняет и тот узор, который образуют пузыри или пена. Пена стремится к такой конструкции, при которой общее поверхностное натяжение будет минимальным, а значит, минимальной должна быть и площадь мыльной мембраны. Но конфигурация стенок пузырей должна быть прочной и с точки зрения механики: натяжение в разных направлениях на «перекрестке» должно быть идеально сбалансировано (по тому же принципу нужен баланс при строительстве стен собора). Трехстороннее соединение в пленке из пузырьков и четырехстороннее — в пене — комбинации, которые достигают этого баланса.
Но тем, кто думает (а такие имеются), что соты — это просто застывшее обилие пузырей из теплого воска, трудно будет объяснить, как такие же множества шестиугольных ячеек получаются у бумажных ос, которые при строительстве используют не воск, а комки жеваных волокон древесины и стеблей, из которых они изготавливают подобие бумаги. Мало того, что поверхностное натяжение тут не играет особой роли, но к тому же ясно, что у разных видов ос разные врожденные инстинкты с точки зрения архитектурных решений: они могут значительно различаться.
Хотя геометрия стыков стенок пузырей диктуется взаимодействием механических сил, в ней бессмысленно искать намек на то, какую форму должна принять пена. Обычная пена содержит многогранные элементы различной формы и размера. Присмотритесь — и вы увидите, что их стенки не идеально прямые: они немного изогнуты. Поскольку чем меньше пузырь, тем выше в нем давление газа, стенка маленького пузыря рядом с большим будет слегка выпирать вперед. Более того, у некоторых элементов пять граней, у других — шесть, а у только четыре или всего три. При небольшой гибкости стенок все эти формы могут образовать четырехстороннее соединение, близкое по композиции к тетраэдру, что необходимо для механической устойчивости. Так что форма пузырей может изменяться. И хотя пену можно изучать с помощью правил геометрии, по своей сути она довольно хаотична.
Предположим, что вы могли бы сделать «идеальную» пену, в которой все пузыри одного размера. Какой тогда должна быть их идеальная форма, чтобы общая площадь стенок была наименьшей, но требование для углов на стыке выполнялось? Этот вопрос обсуждался много лет, и долгое время считалось, что идеальной формой будет четырнадцатигранник c квадратными и шестиугольными гранями. Но в 1993 году была открыта немного более экономичная, хотя и менее упорядоченная структура, состоящая из повторяющейся группы из восьми разных форм. Этот более сложный рисунок был использован в качестве вдохновения для пеноподобного дизайна водного стадиона для Олимпиады 2008 года в Пекине.
Здание Национального плавательного комплекса в Пекине © Ben McMillan
Правила, работающие для пузырей в пене, также можно отнести и к другим узорам, которые обнаруживаются в живых организмах. Не только фасеточные глаза мухи состоят из групп шестиугольных ячеек, которые напоминают группы пузырей; еще и светочувствительные клетки в каждой из этих ячеек собираются в гроздья по четыре, что опять же напоминает мыльные пузыри. Даже в случае мух-мутантов, у которых таких клеток больше, можно говорить о том, что их организация более-менее идентична поведению пузырей.
Из-за поверхностного натяжения мыльная пленка, охватывающая проволочную петлю, натянута ровно, как упругая сетка батута. Но если проволочный каркас погнут, то пленка также будет выгибаться элегантным контуром, который автоматически подсказывает вам наиболее экономичный с точки зрения использования материала способ покрытия пространства, огороженного каркасом. Таким образом, архитектор может увидеть, как построить крышу для здания со сложной архитектурой и потратить минимум стройматериалов. Как бы то ни было, дело не только в экономичности этих так называемых минимальных поверхностей, но и в их красоте и элегантности; вот почему такие архитекторы, как Фрай Отто, использовали их в качестве вдохновения для своих работ.
Эти поверхности минимизируют не только площадь, но и кривизну. Чем круче изгиб, тем больше кривизна. Она может быть положительной (выпуклости) или отрицательной (углубление, впадина или прогиб). Средняя кривизна изогнутой поверхности будет нулевой, если положительная и отрицательная кривизна друг друга уравновешивают. Поэтому лист может быть весь покрыт искривлениями, а средняя кривизна окажется наименьшей. Такая минимально искривленная поверхность разрезает пространство аккуратным лабиринтом коридоров и каналов — сетью.
Фрай Отто, Олимпийский стадион в Мюнхене © Atelier Frei Otto Warmbronn
Это явление называют периодической минимальной поверхностью («периодическая» лишь означает, что эта структура повторяется вновь и вновь; другими словами, это постоянная последовательность). Когда такие последовательности были обнаружены в XIX веке, они казались просто математическим курьезом. Но теперь мы знаем, что природа извлекает из них пользу.
Клетки организмов различных видов, от растений до миног или крыс, обладают мембранами с подобными микроскопическими структурами. Никто не знает, зачем они нужны, но они встречаются настолько часто, что логично предположить, что они выполняют какую-то полезную функцию. Может быть, они отделяют один биохимический процесс от другого, упраздняя их взаимное влияние друг на друга. Или, возможно, они просто эффективны в качестве «рабочей поверхности», поскольку многие биохимические процессы протекают на мембранах, где могут находиться ферменты и другие активные молекулы. Каковы бы ни были функции таких лабиринтов, вам не понадобятся сложные генетические инструкции для их строительства: законы физики сделают все за вас.
У некоторых бабочек, таких как голубянка малинная, на крыльях есть чешуйки, в которых располагается аккуратный лабиринт из жесткого материала — хитина, — сформированный в виде определенной периодической минимальной поверхности под названием гироид. Взаимодействие между неровностями на чешуйчатой поверхности крыльев приводит к тому, что волны определенной длины — то есть определенные цвета — исчезают, в то время как другие усиливают друг друга. Этот механизм влияет на окраску насекомого.
Скелет морского ежа Cidaris rugosa — пористая совокупность ячеек в форме другого вида периодической минимальной поверхности. Это экзоскелет, который расположен снаружи мягких тканей организма, защитная раковина, на которой растут кажущиеся опасными колючки из того же минерала, который входит в состав мела и мрамора. Открытая решетчатая структура указывает на то, что материал прочный, но при этом нетяжелый, — как пенометалл, который используется в авиастроительстве.
Чтобы создать упорядоченную конструкцию из твердого неподатливого минерала, эти организмы, по всей видимости, делают макет из мягкой гнущейся мембраны и затем кристаллизуют твердое вещество внутри одной из взаимопроникающих сетей. Другие существа могут использовать минеральную пену для более сложных задач. Из нее они выстраивают конструкции-«трельяжи», которые, как зеркала, могут направлять свет за счет особенностей его отражения от рельефа. Сеть полых микроскопических каналов, напоминающих соты, в хитиновых щетинках необыкновенного морского червя (морской мыши) превращает эти волосоподобные структуры в природное оптическое волокно, которое может преломлять свет, благодаря чему цвет существа может измениться от красного до в зависимости от направления освещения. Изменение окраски помогает отпугивать хищников.
Этот принцип использования мягких тканей и мембран в качестве макета для формирования упорядоченного минерального экзоскелета широко распространен среди морских обитателей. Некоторые морские губки имеют экзоскелеты, сделанные из минеральных стержней, соединенных по принципу «паутинки» на детских площадках, и они невероятно напоминают формы, которые складываются при столкновении мыльных пузырей в пене, — и тут не может быть никаких разговоров о совпадениях, поскольку архитектуру диктует поверхностное натяжение.
Подобные процессы, известные как биоминерализация, дают впечатляющий результат в таких морских организмах, как лучевики и диатомеи. У некоторых из них встречаются аккуратно выстроенные экзоскелеты, состоящие из минеральных ячеек в виде гексагонов и пентагонов: их можно назвать морскими сотами. Когда немецкий естествоиспытатель (и талантливый художник) Эрнст Геккель впервые увидел эти формы в микроскоп в конце XIX века, он сделал их главным украшением своего собрания рисунков под названием «Красота форм в природе», которое сильно повлияло на художников начала XX века и до сих пор вызывает восхищение. Для Геккеля эти конструкции были доказательством фундаментальной креативности природы — предпочтение порядка и узоров, встроенное в сами законы естества. Даже если сегодня мы не разделяем эту теорию, что-то есть в этой убежденности Геккеля в том, что упорядоченность — это неудержимый импульс живого мира, и мы по праву можем считать его прекрасным.
Почему пчелиные соты шестиугольные, а не круглые?
По сути, «разумная» инженерия пчёл — соты в виде шестиугольников, это просто следствие закона физики.
На самом деле, мы никогда не видели, чтобы пчёлы делали какую-либо другую форму, кроме гексов. Пчёлы делают шестиугольники в своих ульях потому, что шестигранные фигуры идеально сочетаются друг с другом. Круги не работают столь же хорошо: круги будут оставлять пробелы в сотах.
Рабочие пчёлы могли бы использовать для хранения треугольники или квадраты. Но шестиугольник — самая сильная и самая полезная форма. Люди недавно, используя математику, выяснили, почему именно шестиугольники имеют наибольшее значение.
Геометрия этой формы при наименьшем количестве материала, удерживает наибольший вес.
Шестиугольники держат яйца королевы, хранят пыльцу и мёд. В круглой форме это всё стекало бы по стенкам. Карманы в виде шестиугольников просто способны сэкономить пчёлам время и энергию.
Сотовые (шестиугольные) формы используются людьми для создания многих вещей, таких как мосты, самолёты, автомобили… Сотовая форма придаёт материалам дополнительную прочность. Материалы с шестигранной структурой могут выдерживать большую силу удара, даже если они сделаны из лёгкого материала.
Интересно, откуда пчёлы так хорошо знают геометрию, и применяют её в своём творчестве, если они никогда в своей жизни не изучали математику? И как именно пчёлы строят эти шестиугольники? Сначала пчёлы делают в воске круги, используя своё тело в качестве инструмента. Если быть более точным, пчела создаёт не сферы, а цилиндры. Затем, она, используя тепло своего тела, растапливает воск и придаёт круглой форме шестиугольную огранку.
Только три фигуры в геометрии являются правильными многоугольниками: равносторонний треугольник, квадрат и шестиугольник. Из них, именно шестиугольник является наиболее экономичным: имеет лучшее соотношение периметр / площадь.
Что будет, если мы добавим в структуру неправильные многоугольники или изогнутые объекты? Нет, у нерегулярного многоугольника мало шансов спонтанно появиться в природе. Действие сил природы направлено на генерацию более симметричных форм — для лучшего распределения сил.
Тем не менее, оставаясь в обычных многоугольниках, мы можем объединить их в несколько уровней.
Можно, например, чередовать додекагон и треугольник, восьмиугольник и квадрат или даже квадратный шестиугольник и додекагон в одном и том же дорожном покрытии. Но у пчёл выверенное унифицированное строительство: они используют оптимальный вариант — шестиугольник.
Пчёлы используют соты как сосуды для хранения своего мёда. Когда пчёлы строят свои соты, они преследуют цель минимизировать пространство между клетками, одновременно максимизируя пространство внутри клетки. Шестиугольник — это та форма, которая имеет наибольшее количество общих клеточных стенок.
Учёные используют свои наблюдения, чтобы понять мир, в котором мы живём.
Попробуйте поэкспериментировать с различными геометрическими фигурами, чтобы увидеть, насколько хорошо работают сотовые ячейки. Постарайтесь собрать как можно больше фигур вместе с наименьшим количеством потерянного пространства. Помните, что сотовые ячейки никогда не являются смесью нескольких форм, поэтому вы можете использовать только одну форму за раз.