какая графика называется фрактальной

Какая графика называется фрактальной

Фрактальная графика является на сегодняшний день одним из самых быстро развивающихся перспективных видов компьютерной графики.

Математической основой фрактальной графики является фрактальная геометрия. Здесь в основу метода построения изображений положен принцип наследования от, так называемых, «родителей» геометрических свойств объектов-наследников.

Понятия фрактал, фрактальная геометрия и фрактальная графика, появившиеся в конце 70-х, сегодня прочно вошли в обиход математиков и компьютерных художников. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает «состоящий из фрагментов». Оно было предложено математиком Бенуа Мандель-Бротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался.

Фрактальная компьютерная графика позволяет создавать абстрактные композиции, где можно реализовать такие композиционные приёмы как, горизонтали и вертикали, диагональные направления, симметрию и асимметрию

С точки зрения машинной графики фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически благодаря фрактальной графике найден способ эффективной реализации сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.Геометрические фракталы на экране компьютера — это узоры, построенные самим компьютером по заданной программе.

Источник

Фрактальная графика

Фрактал (лат. fractus — дробленый) — термин, означающий геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В более широком смысле под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, строго большую топологической.

Следует отметить, что слово «фрактал» не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения. Оно может употребляться, когда рассматриваемая фигура обладает какими-либо из перечисленных ниже свойств:

Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например побережья, облака, кроны деревьев, кровеносная система и система альвеол человека или животных.

Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.

Содержание

История

Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке (например, множество Кантора). Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы».

Примеры

Самоподобные множества с необычными свойствами в математике

Начиная с конца XIX века, в математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами. К ним можно отнести следующие:

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых

Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее, заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На рисунке справа приведены три первых шага этой процедуры для кривой Коха.

Примерами таких кривых служат:

Фракталы как неподвижные точки сжимающих отображений

Свойство самоподобия можно математически строго выразить следующим образом. Пусть — сжимающие отображения плоскости. Рассмотрим следующее отображение на множестве всех компактных (замкнутых и ограниченных) подмножеств плоскости:

Можно показать, что отображение Ψ является сжимающим отображением на множестве компактов с метрикой Хаусдорфа. Следовательно, по теореме Банаха, это отображение имеет единственную неподвижную точку. Эта неподвижная точка и будет нашим фракталом.

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых, описанная выше, является частным случаем данной конструкции. В ней все отображения — отображения подобия, а n — число звеньев генератора.

Фракталы в комплексной динамике

Фракталы естественным образом возникают при изучении нелинейных динамических систем. Наиболее изучен случай, когда динамическая система задаётся итерациями многочлена или голоморфной функции комплексной переменной на плоскости. Первые исследования в этой области относятся к началу XX века и связаны с именами Фату и Жюлиа.

Пусть F(z) — многочлен, z₀ — комплексное число и рассмотрим следующую последовательность:

.

Нас интересует поведение этой последовательности при . Эта последовательность может:

Ещё один известный пример такого рода — бассейны Ньютона.

Биоморфы — фракталы, построенные на основе комплексной динамики и напоминающие живые организмы.

Стохастические фракталы

Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. Примеры стохастических фракталов:

Фрактальная монотипия, или стохатипия — направления в изобразительном искусстве, состоящие в получении изображения случайного фрактала.

Источник

Что такое Фрактальная графика?

В век информационных технологий все реже можно встретить художников, рисующих на лисе акварелью, маслом, карандашом. Увидеть мангак, закупающих килограммы скринтонов. Ведь большая часть художников уже перешла на планшеты и удобный софт. Наверное, правильно. Можно сколько угодно говорить:”Живые рисунки лучше, они пахнут краской.”, но нельзя отрицать новые возможности, которые дает прогресс. В статье Основы компьютерной графики мы говорили, что двумерную графику разделяют на векторную и растровую, хотя отдельно называют еще и фрактальный тип обособления изображений. Про фрактальную графику, графику слияния математики и искусства мы и поговорим в этой статье.

Фрактальная графика является на сегодняшний день одним из самых быстро развивающихся и перспективных видов компьютерной графики. Логично, что Фрактальная графика состоит из фракталов. Но что же это такое? Фрактал — это структура самоподобных фрагментов. Это значит, что взяв небольшую часть фрактала можно получить информацию обо всем фрактале. Как повторяющиеся фоны на сайтах или узоры на советских коврах. Чтобы представить себе фрактал и запомнить как он выглядит на всю жизнь, достаточно посмотреть на Капусту Романеско. Это реально существующая итальянская капуста.

Капусты Романеско похожи на пирамиды, у них красивый светло-зеленый цвет и они не горчат в отличие от брокколи или цветной капусты.

Как мы видим на фотографии мелкие элементы фрактального объекта повторяют свойства всего объекта, а процесс наследования можно продолжать до бесконечности.

Изменив коэффициенты уравнения, можно получить совершенно другое изображение. Эта идея нашла использование в компьютерной графике благодаря компактности математического аппарата, необходимого для ее реализации. Так, с помощью нескольких математических коэффициентов можно задать линии и поверхности очень сложной формы. Фрактальная компьютерная графика позволяет создавать абстрактные композиции, где можно реализовать множество приёмов: горизонтали и вертикали, диагональные направления, симметрию и асимметрию. С чем можно сравнить фрактальное изображение? Ну, например, со сложной структурой кристалла, со снежинкой, элементы которой выстраивается в одну сложную композицию.

На самом деле фрактальные свойства имеет очень большое количество природных объектов — просто мало кто об этом задумывается. Вы можете любоваться облаками на небе, набегающими волнами прибоя, ходить по лесу — и даже не подозревать, что в основе этой красоты лежит математика. Несмотря на всю сложность природных объектов, многие из них в принципе описываются довольно простыми математическими формулами. Хотя в чистом виде фракталы в природе не существуют.

Следует отметить, что слово «фрактал» не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения. Фигура является фракталом, если обладает следующими свойствами:

1. имеет нетривиальную структуру во всех масштабах (для фрактала увеличение масштаба не ведет к упрощению структуры, поэтому на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину).

2. является самоподобной или приближенно самоподобной.

3. имеет дробную метрическую размерность или метрическую размерность, превосходящую топологическую.

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений:

Apophysis 3D — используется fractal flame — алгоритм. В ней можно создавать как 2Д — изображения, так и псевдо 3Д — графику. На данный момент не поддерживается разработчиками.

Apophysis 7X — Логическое продолжение Apophysis 3D, но с поддержкой от разработчиков. Работать в программе нужно, манипулируя треугольниками. Есть генератор мутаций — случайное редактирование треугольников. Серьёзные возможности по трансформациям и практически всем параметрам фрактала.

Chaotica—Инструмент на основе fractal flame — алгоритма, но ориентированный более на рендеринг изображения.

Ultra Fractal — Мощный инструмент для фрактальных художников. Поддерживает слои, альфа-каналы, градиенты, создание собственных формул и многое другое.

Источник

Фрактальная графика как цифровое беспредметное искусство

Jun 1, 2015 · 8 min read

Аннотация: Сравнение феномена фрактальной компьютерной графики с различными абстрактными живописными техниками и поиск их взаимосвязи в современном искусстве.

Ключевые слова: фрактальная графика, орнамент, арабеска, абстракция, живопись, компьютер, монотипия

Fractal graphic as digital objectless art.

Abstract: This article analyses the phenomena of digital computer graphics, based on mathematics calculations, and possibilities of using it in different modern art techniques.

Digital fractal patterns are irregular, se l f-similar structures, which are based on natural objects`s group of similar characteristics, such as: corals, starfishes, sea urchins, snowflakes, crowns of the trees. The principle of such image forming is natural, and it becomes much more interesting to watch it`s digital mathematic simulation.

In contrast to digital graphic and painting, fractal graphic does not base on classic art traditions. The most resembling to the fractal graphics are objectless ornamental traditions, which takes the principles of infinite spatial creation of similar groups. The article includes the comparison of general ornamental rules and features of fractal images.

Owing to the fact that modern computer software allows to create the digital fractal graphic without special mathematics skills, an artist can combine traditional and digital painting and abstract fractal graphic to reach that level of balance and fortuity of an image, that abstract artist tried to get, using traditional techniques.

The fractal graphic is examined as an digital analog of traditional painting technique of monotyping in complex art work. Author underlines the likeness of many digital and material ways of creating the images. The final visual language of the piece of art still remains to be more important, than technological details of it`s production.

Keywords: fractal graphic, ornament, arabesque, abstraction, painting, computer, monotyping

Пытаясь определить художественную ценность произведений, полностью созданных с помощью компьютера и существующих в виде подлинника только в нематериальной среде, или произведений, основа создания которых — цифровая графика, нужно уделить внимание возможностям программируемых алгоритмов. С их помощью можно получить сложные орнаментальные изображения, обладающие необычными художественными свойствами.

Речь идет о фрактальной графике, которая позволяет создавать изображения, строящиеся по уравнению или системе уравнений. Математической основой фрактальной графики является фрактальная геометрия. Здесь в основу метода построения изображений положен принцип наследования от так называемых «родителей» геометрических свойств объектов-наследников.

Понятия «фрактал», «фрактальная геометрия» и «фрактальная графика», появившиеся в конце 70-х, сегодня прочно вошли в обиход математиков и компьютерных художников. Слово «фрактал» образовано от латинского fractus и в переводе означает «состоящий из фрагментов». Оно было предложено математиком Бенуа Мандель-Бротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался.

С помощью специализированных программ вы можете даже без особых математических познаний вносить изменения в формулу построения фрактального изображения, меняя цвет, частоту, размер, форму фрактальных фигур, их композицию и направленность.

Вы управляете построением формулы с помощью привычного графического интерфейса; компьютер тут же просчитывает результаты ваших действий; вы вносите изменения в формулу и тут же видите обновленное изображение фрактала. Графику, полученную таким путем, можно сравнить с традиционными орнаментами или строением многих естественных объектов, обладающих фрактальными свойствами: кораллы, морские звезды и ежи, снежинки, кроны растений.

Сам принцип такого построения изображения естественен, и тем интереснее наблюдать его виртуальную математическую симуляцию.

Рассматривая художественную ценность фрактальной графики, нужно прежде всего заметить, что она не основывается на классических художественных традициях. Конечно, похожий способ построения орнамента использовался в разных национальных искусствах, преимущественно восточных, где беcпредметные мотивы были более развиты. Общий ритм изображения создавался за счет повторяющихся мотивов, родственных друг другу, общее построение рисунка циклично, используются типовые элементы.

Такой подход создает уравновешенную композицию с возможностью продолжать ее бесконечно.

Симметрия, метр, ритм, модуль — эти, имеющие выраженную математическую природу категории наиболее выражены в орнаменте, самой математически строгой области изобразительного искусства.

Приведу для примера некоторые законы орнаментальной композиции:

• закон пропорциональности в орнаментальной композиции заключается в установлении соразмерности частей в отношении целого и друг к другу. Пропорциональные отношения площадей рисунка и фона, размеров орнаментальных мотивов и их составных частей, линейных характеристик орнаментальных форм и т.п. определяют выразительность композиции.

• закон соподчинения — звучание выразительных средств орнаментальной композиции обеспечивается выделением из их числа главных и подчинения им второстепенных. Закон соподчинения в штучных композициях трансформируется в закон доминанты (господствующей идеи): когда в композиции отчетливо выделяется один или несколько орнаментальных мотивов по размерам, форме, фактуре и цвету.

• закон орнаментального контрапункта — построение орнаментальных мотивов возможно из ряда замкнутых элементов путем соединения их в целостный орнаментальный образ.

Фрактальный узор, как правило, отвечает большинству этих пунктов. Особенно близок к строению фрактала вид орнамента «арабеска», построенный по геометрической сетке — принципу бесконечного пространственного развития повторяющихся групп орнаментальных мотивов.

Фрактальную графику, в отличие от растровой и векторной, можно назвать менее вещественной, более самобытной, и существующей изначально, как вид искусства, исключительно в цифровой среде. Конечно, теоретически можно воссоздать поведение математической формулы фрактала и на бумаге, но такое занятие настолько технически трудоемко, что становится бессмысленным.

Фрактальный узор, создаваемый без подготовки математической основы обладает важным свойством — он непредсказуем для создателя. Изначально вы не можете контролировать полностью все аспекты графического изображения, если вы, конечно, не профессиональный математик или перед вами не стоит задача создать конкретный узор по заранее разработанной формуле.

Художнику интересен именно визуальный результат, получающийся с большой долей случайности, но обладающий выдающимися декоративными особенностями. Не используя ни традиционные, ни цифровые аналоги художественных инструментов, не опираясь изначально на принципы построения композиции, не выбирая гамму цветов, а лишь внося изменения в формулу, которая и является здесь основным конфигуратором, можно получить такое изображение, которое невозможно создать вручную или придумать нарочно. Фрактальный рисунок подчинен общей гармонии, так как повторяет и множит сам себя в различных прогрессиях, единство стиля здесь легко достижимо.

Сам факт того, что именно математический процесс в случайном порядке, практически без вмешательства человека способен генерировать изображения, обладающие художественными свойствами, был бы невозможен без участия компьютера. Компьютер способен помочь автоматизировать творческий процесс, если речь идет о сложной, многоэтапной работе.

Возможности фрактальной графики расцениваются художником как возможности отдельного инструмента, отдельного этапа в общем процессе работы.

Приведу пример: вы решили написать живописную работу размером 2 на 2 метра, выбрали примерную тематику. Пусть это будет многофигурная композиция на фоне пейзажа. Здесь существуют два пути продолжения работы — предметный или абстрактный. Вы можете отталкиваться от рисунка конкретной композиции, фигур, двигать их и перемещать в поисках всеобщей гармонии. Неважно, как вы это делаете: углем на холсте или посредством цифрового графического редактора.

Первый этап вашей работы — это поиски визуальной гармонии в пределах выбранного формата. И более неоднозначный, сложный, но и более продуктивный способ — начать искать предметную композицию, отталкиваясь от беспредметного, абстрактного рисунка. В классической живописи используется имприматура, живописная свободная подложка, первый слой, на котором можно без ограничений намечать цветовые пятна, гармонично распределить по холсту тональные зоны, скомпоновать рисунок, то есть провести подготовительный этап, практически беспредметный, который сам подскажет, в каком направлении лучше двигаться дальше.

Одно из важных умений художника состоит в способности временно отключиться от привязки к конкретным образам и работать с более общими формами, элементами случайности, чувствовать материал, который сам часто подсказывает верные решения. Очень сложно намеренно создать гармоничное произведение, руководствуясь определенным набором правил, и работать всегда в рамках предметности.

Хорошим примером является техника монотипии в классической живописи. Произведение не обязательно должно быть сюжетным и предметным, чтобы передать настроение и атмосферу. Техника монотипии с некоторой долей случайности позволяет создавать абстрактные живописные произведения.

Художник наносит слой масляных красок на стекло, а потом отпечатывает в зеркальном отражении краски на бумагу. Бумага может иметь собственный цвет, что добавляет вариативности в конечный результат. Под давлением мазки принимают новые формы, смешиваются, проступает цвет бумаги, и художник получает зеркальное изображение рисунка на стекле, измененное и обобщенное благодаря случайным деформациям. Такая монотипия может быть завершена как абстрактное произведение с помощью лессировок, обобщения цвета, добавления новых цветов, или может стать подготовительным подмалевком для дальнейшей работы с вполне предметным сюжетом.

И в этом случае абстрактные свойства фракталов позволяют получить неожиданный декоративный результат, сыграть роль подмалевка.

Допустим, вам нужно нарисовать фантастический пейзаж, сделать его убедительным, но в то же время необычным, подобрать сложную гамму цветов. Вы можете начать со случайного результата — создать многоцветный плотный фрактальный рисунок, узор, который уже создает некий графический ритм, и использовать его в качестве основы для дальнейшего рисунка в графическом редакторе; вы можете его исказить, поменять цвет, сделать более сдержанным, начать намечать поверх широкими мазками общие черты вашего пейзажа, но случайный узор в качестве подложки будет вас вести, направлять и подсказывать неожиданные решения. После вы можете распечатать получившийся цифровой рисунок, натянуть этот принт и пройтись по нему гуашью или закончить его карандашами, если того требует общая идея произведения.

Именно случайность, вариативность фрактальной графики становится ценным качеством для использования ее в художественных работах, особенно если речь идет о живописи. И тем удивительнее тот факт, что в этом участвует автоматизированный компьютерный процесс, способный с легкостью создать изображение такой степени сбалансированности и случайности, какую с трудом пытались найти и воспроизвести многие художники — абстракционисты.

Прием использования повторяющихся мотивов похож на прием калейдоскопа в абстрактной графике. Художник определяет для себя участок работы, который будет в дальнейшем скопирован и отзеркален, выбирает направление отражений и таким образом создает из повторяющихся копий новую, самобытную композицию. При этом, исходный участок сам по себе может быть не гармоничен с точки зрения композиции, не симметричен и хаотичен, но итоговый результат, составленный из множества таких фрагментов, создает весьма неожиданный, непредсказуемый рисунок. Фактор случайности в такой технике тоже присутствует и остается очень важным.

Изображение в калейдоскопе, состоящее из множества отдельных, хаотичных элементов, выстраивается в гармоничный рисунок — благодаря симметричному по вертикали и горизонтали рисунку, отраженным частицам общего «родителя». Хаотичность собирается в гармоничную композицию, основываясь на приеме отражения и повторения. Получается, что фрактальный узор является заведомо уравновешенным.

Это еще раз подчеркивает сходство техник и художественных подходов в цифровой и материальной средах. При желании художник может найти удобный способ воспроизведения своей техники на компьютере, подобрать нужный набор программ, аналогичных традиционным приемам, и создавать произведения, не ограничивая себя какими–либо техническими рамками.

Компьютерные фракталы и калейдоскопы эффективны при создании абстрактных работ. Растровые редакторы позволяют замешивать цвета, имитировать поверхности, рисовать в различных техниках, а векторная графика способна строить идеальные кривые и геометрические композиции. Умение совмещать все эти возможности дает художнику огромную свободу самовыражения.

Не важно, предметный или абстрактный сюжет разрабатывает художник, делает он свою работу на бумаге, компьютере или совмещает их, — важен лишь визуальный язык итогового произведения: насколько он ясен и как четко передает заложенный художником смысл.

Фрактальная графика представляет собой яркий синтез математических, цифровых, машинных вычислений и орнаментальной, декоративной графики, ее автоматизированность и непредсказуемость открывает новые возможности для творчества. Ее можно назвать главным инструментом для создания беспредметного и абстрактного искусства в цифровой среде.

Источник