какая команда позволяет вывести на экран наименьший элемент массива numpy
NumPy, часть 2: базовые операции над массивами
Здравствуйте! Я продолжаю работу над пособием по python-библиотеке NumPy.
В прошлой части мы научились создавать массивы и их печатать. Однако это не имеет смысла, если с ними ничего нельзя делать.
Сегодня мы познакомимся с операциями над массивами.
Базовые операции
Математические операции над массивами выполняются поэлементно. Создается новый массив, который заполняется результатами действия оператора.
Для этого, естественно, массивы должны быть одинаковых размеров.
Также можно производить математические операции между массивом и числом. В этом случае к каждому элементу прибавляется (или что вы там делаете) это число.
NumPy также предоставляет множество математических операций для обработки массивов:
Полный список можно посмотреть здесь.
Многие унарные операции, такие как, например, вычисление суммы всех элементов массива, представлены также и в виде методов класса ndarray.
По умолчанию, эти операции применяются к массиву, как если бы он был списком чисел, независимо от его формы. Однако, указав параметр axis, можно применить операцию для указанной оси массива:
Индексы, срезы, итерации
Одномерные массивы осуществляют операции индексирования, срезов и итераций очень схожим образом с обычными списками и другими последовательностями Python (разве что удалять с помощью срезов нельзя).
У многомерных массивов на каждую ось приходится один индекс. Индексы передаются в виде последовательности чисел, разделенных запятыми (то бишь, кортежами):
Когда индексов меньше, чем осей, отсутствующие индексы предполагаются дополненными с помощью срезов:
Например, если x имеет ранг 5 (то есть у него 5 осей), тогда
Итерирование многомерных массивов начинается с первой оси:
Однако, если нужно перебрать поэлементно весь массив, как если бы он был одномерным, для этого можно использовать атрибут flat:
Манипуляции с формой
Как уже говорилось, у массива есть форма (shape), определяемая числом элементов вдоль каждой оси:
Форма массива может быть изменена с помощью различных команд:
Порядок элементов в массиве в результате функции ravel() соответствует обычному «C-стилю», то есть, чем правее индекс, тем он «быстрее изменяется»: за элементом a[0,0] следует a[0,1]. Если одна форма массива была изменена на другую, массив переформировывается также в «C-стиле». Функции ravel() и reshape() также могут работать (при использовании дополнительного аргумента) в FORTRAN-стиле, в котором быстрее изменяется более левый индекс.
Метод reshape() возвращает ее аргумент с измененной формой, в то время как метод resize() изменяет сам массив:
Объединение массивов
Несколько массивов могут быть объединены вместе вдоль разных осей с помощью функций hstack и vstack.
hstack() объединяет массивы по первым осям, vstack() — по последним:
Функция column_stack() объединяет одномерные массивы в качестве столбцов двумерного массива:
Аналогично для строк имеется функция row_stack().
Разбиение массива
Используя hsplit() вы можете разбить массив вдоль горизонтальной оси, указав либо число возвращаемых массивов одинаковой формы, либо номера столбцов, после которых массив разрезается «ножницами»:
Функция vsplit() разбивает массив вдоль вертикальной оси, а array_split() позволяет указать оси, вдоль которых произойдет разбиение.
Копии и представления
При работе с массивами, их данные иногда необходимо копировать в другой массив, а иногда нет. Это часто является источником путаницы. Возможно 3 случая:
Вообще никаких копий
Простое присваивание не создает ни копии массива, ни копии его данных:
Python передает изменяемые объекты как ссылки, поэтому вызовы функций также не создают копий.
Представление или поверхностная копия
Разные объекты массивов могут использовать одни и те же данные. Метод view() создает новый объект массива, являющийся представлением тех же данных.
Срез массива это представление:
Глубокая копия
Метод copy() создаст настоящую копию массива и его данных:
Нескучный туториал по NumPy
Меня зовут Вячеслав, я хронический математик и уже несколько лет не использую циклы при работе с массивами…
Ровно с тех пор, как открыл для себя векторные операции в NumPy. Я хочу познакомить вас с функциями NumPy, которые чаще всего использую для обработки массивов данных и изображений. В конце статьи я покажу, как можно использовать инструментарий NumPy, чтобы выполнить свертку изображений без итераций (= очень быстро).
Что такое NumPy?
Это библиотека с открытым исходным кодом, некогда отделившаяся от проекта SciPy. NumPy является наследником Numeric и NumArray. Основан NumPy на библиотеке LAPAC, которая написана на Fortran. Не-python альтернативой для NumPy является Matlab.
В силу того, что NumPy базируется на Fortran это быстрая библиотека. А в силу того, что поддерживает векторные операции с многомерными массивами — крайне удобная.
Кроме базового варианта (многомерные массивы в базовом варианте) NumPy включает в себя набор пакетов для решения специализированных задач, например:
Создание массива
Создать массив можно несколькими способами:
Либо взять размеры уже существующего массива:
По умолчанию from = 0, step = 1, поэтому возможен вариант с одним параметром, интерпретируемым как To:
Либо с двумя — как From и To:
Обратите внимание, что в методе №3 размеры массива передавались в качестве одного параметра (кортеж размеров). Вторым параметром в способах №3 и №4 можно указать желаемый тип элементов массива:
Используя метод astype, можно привести массив к другому типу. В качестве параметра указывается желаемый тип:
Все доступные типы можно найти в словаре sctypes:
Доступ к элементам, срезы
Доступ к элементам массива осуществляется по целочисленным индексами, начинается отсчет с 0:
Если представить многомерный массив как систему вложенных одномерных массивов (линейный массив, элементы которого могут быть линейными массивами), становится очевидной возможность получать доступ к подмассивам с использованием неполного набора индексов:
С учетом этой парадигмы, можем переписать пример доступа к одному элементу:
При использовании неполного набора индексов, недостающие индексы неявно заменяются списком всех возможных индексов вдоль соответствующей оси. Сделать это явным образом можно, поставив «:». Предыдущий пример с одним индексом можно переписать в следующем виде:
«Пропустить» индекс можно вдоль любой оси или осей, если за «пропущенной» осью последуют оси с индексацией, то «:» обязательно:
Индексы могут принимать отрицательные целые значения. В этом случае отсчет ведется от конца массива:
Можно использовать не одиночные индексы, а списки индексов вдоль каждой оси:
Либо диапазоны индексов в виде «From:To:Step». Такая конструкция называется срезом. Выбираются все элементы по списку индексов начиная с индекса From включительно, до индекса To не включая с шагом Step:
Шаг индекса имеет значение по умолчанию 1 и может быть пропущен:
Значения From и To тоже имеют дефолтные значения: 0 и размер массива по оси индексации соответственно:
Если вы хотите использовать From и To по умолчанию (все индексы по данной оси) а шаг отличный от 1, то вам необходимо использовать две пары двоеточий, чтобы интерпретатор смог идентифицировать единственный параметр как Step. Следующий код «разворачивает» массив вдоль второй оси, а вдоль первой не меняет:
Как видите, через B мы изменили данные в A. Вот почему в реальных задачах важно использовать копии. Пример выше должен был бы выглядеть так:
В NumPy также реализована возможность доступа ко множеству элементов массива через булев индексный массив. Индексный массив должен совпадать по форме с индексируемым.
Как видите, такая конструкция возвращает плоский массив, состоящий из элементов индексируемого массива, соответствующих истинным индексам. Однако, если мы используем такой доступ к элементам массива для изменения их значений, то форма массива сохранится:
Над индексирующими булевыми массивами определены логические операции logical_and, logical_or и logical_not выполняющие логические операции И, ИЛИ и НЕ поэлементно:
logical_and и logical_or принимают 2 операнда, logical_not — один. Можно использовать операторы &, | и
для выполнения И, ИЛИ и НЕ соответственно с любым количеством операндов:
Что эквивалентно применению только I1.
Получить индексирующий логический массив, соответсвующий по форме массиву значений можно, записав логическое условие с именем массива в качестве операнда. Булево значение индекса будет рассчитано как истинность выражения для соответствующего элемента массива.
Найдем индексирующий массив I элементов, которые больше, чем 3, а элементы со значениями меньше чем 2 и больше 4 — обнулим:
Форма массива и ее изменение
Многомерный массив можно представить как одномерный массив максимальной длины, нарезанный на фрагменты по длине самой последней оси и уложенный слоями по осям, начиная с последних.
Для наглядности рассмотрим пример:
В этом примере мы из одномерного массива длиной 24 элемента сформировали 2 новых массива. Массив B, размером 4 на 6. Если посмотреть на порядок значений, то видно, что вдоль второго измерения идут цепочки последовательных значений.
В массиве C, размером 4 на 3 на 2, непрерывные значения идут вдоль последней оси. Вдоль второй оси идут последовательно блоки, объединение которых дало бы в результате строки вдоль второй оси массива B.
А учитывая, что мы не делали копии, становится понятно, что это разные формы преставления одного и того же массива данных. Поэтому можно легко и быстро менять форму массива, не изменяя самих данных.
Чтобы узнать размерность массива (количество осей), можно использовать поле ndim (число), а чтобы узнать размер вдоль каждой оси — shape (кортеж). Размерность можно также узнать и по длине shape. Чтобы узнать полное количество элементов в массиве можно воспользоваться значением size:
Обратите внимание, что ndim и shape — это атрибуты, а не методы!
Чтобы увидеть массив одномерным, можно воспользоваться функцией ravel:
Чтобы поменять размеры вдоль осей или размерность используется метод reshape:
Важно, чтобы количество элементов сохранилось. Иначе возникнет ошибка:
Можно reshape использовать вместо ravel:
Рассмотрим практическое применение некоторых возможностей для обработки изображений. В качестве объекта исследования будем использовать фотографию:
Попробуем ее загрузить и визуализировать средствами Python. Для этого нам понадобятся OpenCV и Matplotlib:
Результат будет такой:
Обратите внимание на строку загрузки:
OpenCV работает с изображениями в формате BGR, а нам привычен RGB. Мы меняем порядок байтов вдоль оси цвета без обращения к функциям OpenCV, используя конструкцию
«[:, :, ::-1]».
Уменьшим изображение в 2 раза по каждой оси. Наше изображение имеет четные размеры по осям, соответственно, может быть уменьшено без интерполяции:
Поменяв форму массива, мы получили 2 новые оси, по 2 значения в каждой, им соответствуют кадры, составленные из нечетных и четных строк и столбцов исходного изображения.
Низкое качество свзано с использованием Matplotlib, за то там видны размеры по осям. На самом деле, качество уменьшенного изображения такое:
Перестановка осей и траспонирование
В кроме изменения формы массива при неизменном порядке единиц данных, часто встречается необходимость изменить порядок следования осей, что естественным образом повлечет перестановки блоков данных.
Примером такого преобразования может быть транспонирование матрицы: взаимозамена строк и столбцов.
В этом примере для транспонирования матрицы A использовалась конструкция A.T. Оператор транспонирования инвертирует порядок осей. Рассмотрим еще один пример с тремя осями:
У этой короткой записи есть более длинный аналог: np.transpose(A). Это более универсальный инструмент для замены порядка осей. Вторым параметром можно задать кортеж номеров осей исходного массива, определяющий порядок их положения в результирующем массиве.
Для примера переставим первые две оси изображения. Картинка должна перевернуться, но цветовую ось оставим без изменения:
Для этого примера можно было применить другой инструмент swapaxes. Этот метод переставляет местами две оси, указанные в параметрах. Пример выше можно было реализовать так:
Объединение массивов
Объединяемые массивы должны иметь одинаковое количество осей. Объединять массивы можно с образованием новой оси, либо вдоль уже существующей.
Для объединения с образованием новой оси исходные массивы должны иметь одинаковые размеры вдоль всех осей:
Как видно из примера, массивы-операнды стали подмассивами нового объекта и выстроились вдоль новой оси, которая стоит самой первой по порядку.
Для объединения массивов вдоль существующей оси, они должны иметь одинаковый размер по всем осям, кроме выбранной для объединения, а по ней могут иметь произвольные размеры:
Для объединения по первой или второй оси можно использовать методы vstack и hstack соответсвенно. Покажем это на примере изображений. vstack объединяет изображения одинаковой ширины по высоте, а hsstack объединяет одинаковые по высоте картинки в одно широкое:
Обратите внимание на то, что во всех примерах этого раздела объединяемые массивы передаются одним параметром (кортежем). Количество операндов может быть любым, а не обязательно только 2.
Также обратите внимание на то, что происходит с памятью, при объединении массивов:
Так как создается новый объект, данные в него копируются из исходных массивов, поэтому изменения в новых данных не влияют на исходные.
Клонирование данных
Оператор np.repeat(A, n) вернет одномерный массив с элементами массива A, каждый из которых будет повторен n раз.
После этого преобразования, можно перестроить геометрию массива и собрать повторяющиеся данные в одну ось:
Этот вариант отличается от объединения массива с самим собой оператором stack только положением оси, вдоль которой стоят одинаковые данные. В примере выше это последняя ось, если использовать stack — первая:
Как бы ни было выполнено клонирование данных, следующим шагом можно переместить ось, вдоль которой стоят одинаковые значения, в любую позицию с системе осей:
Если же мы хотим «растянуть» какую либо ось, используя повторение элементов, то ось с одинаковыми значениями надо поставить после растягиваемой (используя transpose), а затем объединить эти две оси (используя reshape). Рассмотрим пример с растяжением изображения вдоль вертикальной оси за счет дублирования строк:
Математические операции над элементами массива
Если A и B массивы одинакового размера, то их можно складывать, умножать, вычитать, делить и возводить в степень. Эти операции выполняются поэлементно, результирующий массив будет совпадать по геометрии с исходными массивами, а каждый его элемент будет результатом выполнения соответствующей операции над парой элементов из исходных массивов:
Можно выполнить любую операцию из приведенных выше над массивом и числом. В этом случае операция также выполнится над каждым из элементов массива:
Учитывая, что многомерный массив можно рассматривать как плоский массив (первая ось), элементы которого — массивы (остальные оси), возможно выполнение рассматриваемых операций над массивами A и B в случае, когда геометрия B совпадает с геометрией подмассивов A при фиксированном значении по первой оси. Иными словами, при совпадающем количестве осей и размерах A[i] и B. Этом случае каждый из массивов A[i] и B будут операндами для операций, определенных над массивами.
В этом примере массив B подвергается операции с каждой строкой массива A. При необходимости умножения/деления/сложения/вычитания/возведения степень подмассивов вдоль другой оси, необходимо использовать транспонирование, чтобы поставить нужную ось на место первой, а затем вернуть ее на свое место. Рассмотри пример выше, но с умножением на вектор B столбцов массива A:
Для более сложных функций (например, для тригонометрических, экспоненты, логарифма, преобразования между градусами и радианами, модуля, корня квадратного и.д.) в NumPy есть реализация. Рассмотрим на примере экспоненты и логарифма:
С полным списком математических операций в NumPy можно ознакомиться тут.
Матричное умножение
Описанная выше операция произведения массивов выполняется поэлементно. А при необходимости выполнения операций по правилам линейной алгебры над массивами как над тензорами можно воспользоваться методом dot(A, B). В зависимости от вида операндов, функция выполнит:
Рассмотрим примеры со скалярами и векторами:
С тензорами посмотрим только на то, как меняется размер геометрия результирующего массива:
Для выполнения произведения тензоров с использованием других осей, вместо определенных для dot можно воспользоваться tensordot с явным указанием осей:
Мы явно указали, используем третью ось первого массива и вторую — второго (размеры по этим осям должны совпадать).
Агрегаторы
Агрегаторы — это методы NumPy позволяющие заменять данные интегральными характеристиками вдоль некоторых осей. Например, можно посчитать среднее значение, максимальное, минимальное, вариацию или еще какую-то характеристику вдоль какой-либо оси или осей и сформировать из этих данных новый массив. Форма нового массива будет содержать все оси исходного массива, кроме тех, вдоль которых подсчитывался агрегатор.
Для примера, сформируем массив со случайными значениями. Затем найдем минимальное, максимальное и среднее значение в его столбцах:
При таком использовании mean и average выглядят синонимами. Но эти функции обладают разным набором дополнительных параметров. У нах разные возможности по маскированию и взвешиванию усредняемых данных.
Можно подсчитать интегральные характеристики и по нескольким осям:
В этом примере рассмотрена еще одна интегральная характеристика sum — сумма.
Список агрегаторов выглядит примерно так:
Если не указать оси, то по умолчанию все рассматриваемые характеристики считаются по всему массиву. В этом случае argmin и argmax тоже корректно отработают и найдут индекс максимального или минимального элемента так, как буд-то все данные в массиве вытянуты вдоль одной оси командой ravel().
Еще следует отметить, агрегирующие методы определены не только как методы модуля NumPy, но и для самих массивов: запись np.aggregator(A, axes) эквивалентна записи A.aggregator(axes), где под aggregator подразумевается одна из рассмотренных выше функций, а под axes — индексы осей.
Вместо заключения — пример
Давайте построим алгоритм линейной низкочастотной фильтрации изображения.
Для начала загрузим зашумленное изображение.
Рассмотрим фрагмент изображения, чтобы увидеть шум:
Фильтровать изображение будем с использованием гауссова фильтра. Но вместо выполнения свертки непосредственно (с итерированием), применим взвешенное усреднение срезов изображения, сдвинутых относительно друг друга:
Применим эту функцию к нашему изображению единожды, дважды и трижды:
Получаем следующие результаты:
при однократном применении фильтра;
Видно, что с повышением количества проходов фильтра снижается уровень шума. Но при этом снижается и четкость изображения. Это известная проблема линейных фильтров. Но наш метод денойзинга изображения не претендует на оптимальность: это лишь демонстрация возможностей NumPy реализации свертки без итераций.
Теперь давайте посмотрим, сверткам с какими ядрами эквивалентна наша фильтрация. Для этого подвергнем аналогичным преобразованиям одиночный единичный импульс и визуализируем. На самом деле импульс будет не единичным, а равным по амплитуде 255, так как само смешивание оптимизировано под целочисленные данные. Но это не мешает оценить общий вид ядер:
Мы рассмотрели далеко не полный набор возможностей NumPy, надеюсь, этого было достаточно для демонстрации всей мощи и красоты этого инструмента!
Матрицы в Python и массивы NumPy
Матрица — это двухмерная структура данных, в которой числа расположены в виде строк и столбцов. Например:
Эта матрица является матрицей три на четыре, потому что она состоит из 3 строк и 4 столбцов.
Матрицы в Python
Python не имеет встроенного типа данных для матриц. Но можно рассматривать список как матрицу. Например:
Этот список является матрицей на 2 строки и 3 столбца.
Давайте посмотрим, как работать с вложенным списком.
Когда мы запустим эту программу, результат будет следующий:
NumPy массивы в Python
NumPy — это расширение для научных вычислений, которое поддерживает мощный объект N-мерного массива. Прежде чем использовать NumPy, необходимо установить его. Для получения дополнительной информации,
После установки NumPy можно импортировать и использовать его.
NumPy предоставляет собой многомерный массив чисел (который на самом деле является объектом). Давайте рассмотрим приведенный ниже пример:
Как видите, класс массива NumPy называется ndarray.
Как создать массив NumPy?
Существует несколько способов создания массивов NumPy.
Массив целых чисел, чисел с плавающей точкой и составных чисел
Когда вы запустите эту программу, результат будет следующий:
Массив нулей и единиц
Использование arange() и shape()
Операции с матрицами
Выше мы привели пример сложение, умножение матриц и транспонирование матрицы. Мы использовали вложенные списки, прежде чем создавать эти программы. Рассмотрим, как выполнить ту же задачу, используя массив NumPy.
Сложение двух матриц или сумма элементов массива Python
Мы используем оператор +, чтобы сложить соответствующие элементы двух матриц NumPy.
Умножение двух матриц Python
Примечание: * используется для умножения массива (умножения соответствующих элементов двух массивов), а не умножения матрицы.
Транспонирование матрицы питон
Мы используем numpy.transpose для вычисления транспонирования матрицы.
Как видите, NumPy значительно упростил нашу задачу.
Доступ к элементам матрицы, строкам и столбца
Доступ к элементам матрицы
Также можно получить доступ к элементам матрицы, используя индекс. Начнем с одномерного массива NumPy.
Когда вы запустите эту программу, результат будет следующий:
Теперь выясним, как получить доступ к элементам двухмерного массива (который в основном представляет собой матрицу).
Когда мы запустим эту программу, результат будет следующий:
Доступ к строкам матрицы
Когда мы запустим эту программу, результат будет следующий:
Доступ к столбцам матрицы
Когда мы запустим эту программу, результат будет следующий:
Если вы не знаете, как работает приведенный выше код, прочтите раздел «Разделение матрицы».
Разделение матрицы
Разделение одномерного массива NumPy аналогично разделению списка. Рассмотрим пример:
Теперь посмотрим, как разделить матрицу.
Использование NumPy вместо вложенных списков значительно упрощает работу с матрицами. Мы рекомендуем детально изучить пакет NumPy, если вы планируете использовать Python для анализа данных.
Пожалуйста, оставьте ваши комментарии по текущей теме статьи. Мы очень благодарим вас за ваши комментарии, лайки, отклики, подписки, дизлайки!