какая показательная функция является возрастающей а какая убывающей
Алгебра и начала математического анализа. 10 класс
Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок №21. Показательная функция.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
— какая функция называется показательной;
— какие свойства имеет показательная функция в зависимости от ее основания;
— какой вид имеет график показательной функции в зависимости от ее основания;
— примеры реальных процессов, описываемых показательной функцией.
Функция вида 
, a>0, а≠1 называется показательной функцией с основанием а.
Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб.для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 336 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4, сс.310-314, сс. 210-216.
Открытые электронные ресурсы:
Теоретический материал для самостоятельного изучения
1. Определение, свойства и график показательной функции
Такое название она получила потому, что независимая переменная стоит в показателе. Основание а – заданное число.
Для положительного основания значение степени а х можно найти для любого значения показателя х – и целого, и рационального, и иррационального, то есть для любого действительного значения.
Сформулируем основные свойства показательной функции.
1. Область определения.
Как мы уже сказали, степень а х для a>0 определена для любого действительного значения переменной х, поэтому область определения показательной функции D(y)=R.
2. Множество значений.
Так как основание степени положительно, то очевидно, что функция может принимать только положительные значения.
3. Корни (нули) функции.
Так как основание a>0, то ни при каких значениях переменной х функция не обращается в 0 и корней не имеет.
При a>1 функция монотонно возрастает.
Рисунок 1 – График показательной функции при a>1
При 0 1 при х стремящемся к минус бесконечности.
2. Рассмотрим пример исследования функции y=–3 х +1.
1) Область определения функции – любое действительное число.
2) Найдем множество значений функции.
Так как 3 х >0, то –3 х х +1 х +1 представляет собой промежуток (-∞; 1).
3) Так как функция y=3 х монотонно возрастает, то функция y=–3 х монотонно убывает. Значит, и функция y=–3 х +1 также монотонно убывает.
4) Эта функция будет иметь корень: –3 х +1=0, 3 х =1, х=0.
Рисунок 3 – График функции y=–3 х +1
6) Для этой функции горизонтальной асимптотой будет прямая y=1.
3. Примеры процессов, которые описываются показательной функцией.
6) Известно утверждение, что количество информации удваивается каждые 10 лет. Изобразим это наглядно.
Примем количество информации в момент времени t=0 за единицу. Тогда через 10 лет количество информации удвоится и будет равно 2. Еще через 10 лет количество информации удвоится еще раз и станет равно 4 и т.д.
Рисунок 4 – График функции y=2 х – изменение количества информации
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Выберите показательные функции, которые являются монотонно убывающими.
Монотонно убывающими являются показательные функции, основание которых положительно и меньше единицы. Такими функциями являются: 2) и 4) (независимо от того, что коэффициент в показателе функции 4) равен 0,5), заметим, что функцию 4) можно переписать в виде: 
, используя свойство степеней.
Также монотонно убывающей будет функция 5). Воспользуемся свойством степеней и представим ее в виде:
2) 4) 5)
Найдите множество значений функции y=3 x+1 – 3.
Так как 3 x+1 >0, то 3 x+1 – 3>–3, то есть множество значений:
Найдите множество значений функции y=|2 x – 2|
2 x –2>–2, но, так как мы рассматриваем модуль этого выражения, то получаем: |2 x – 2|
0.
Какая показательная функция является возрастающей а какая убывающей
График функции имеет следующий вид:
Рассмотрим свойства функции:
Примеры решения задач
Задача 1.
В одной координатной плоскости построить графики функций:
Решение.
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y(x) |  |  |  | 1 | 2 | 4 | 8 |
Отметим полученные точки на координатной плоскости, соединив их плавной линией.
Большему значению аргумента х соответствует и большее значение функции у. Функция y = 2 x возрастает на всей области определения D(y)=R, так как основание функции 2 > 1.
Подобным образом построим графики остальных функций.
Переменная х может принимать любое значение (D (y)=R), при этом значение у всегда будет больше нуля (E (y)=R+).
Все данные функции являются возрастающими, так как большему значению аргумента соответствует и большее значение функции.
Задача 2.
В одной координатной плоскости построить графики функций:
Решение.
Для начала построим график функции 
. Для этого найдем значения функции при x = 0, ±1, ±2, ±3.
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y(x) | 8 | 4 | 2 | 1 | | | |
Отметим полученные точки на координатной плоскости, соединив их плавной линией.
Большему значению аргумента х соответствует меньшее значение функции y. Функция убывает на всей своей области определения: D(y)=R, так как основание функции 0
Подобным образом построим графики остальных функций.
Переменная х может принимать любое значение: D(y)=R, при этом область значений функции: E(y)=R+.
Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой степени не может быть равным нулю.
Все эти функции являются убывающими, так как большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Задание 3.
Найти область значений функции:
Решение.
Область значений показательной функции y = 2 x – все положительные числа, т. е. 0 x x
2. y = 
+1
умножаем все части двойного неравенства на 3:
из всех частей двойного неравенства вычитаем 5:
11.3.1. Показательная функция, ее свойства и график
Справедливы все свойства степенной функции:
Примеры.
x=0, y=2 0 =1; Точка А.
x=1, y=2 1 =2; Точка В.
x=2, y=2 2 =4; Точка С.
x=3, y=2 3 =8; Точка D.
Большему значению аргумента х соответствует и большее значение функции у. Функция y=2 x возрастает на всей области определения D (y)=R, так как основание функции 2>1.
x=0, y=(½) 0 =1; Точка A.
x=1, y=(½) 1 =½=0,5; Точка B.
x=2, y=(½) 2 =¼=0,25; Точка C.
x=3, y=(½) 3 =1/8=0,125; Точка D.
График функции у=2 х мы уже строили, графики остальных функций строим аналогично, причем, достаточно будет найти значения функций при х=0 и при х=±1.
Переменная х может принимать любое значение (D (y)=R), при этом значение у всегда будет больше нуля (E (y)=R+).
Все данные функции являются возрастающими, так как большему значению аргумента соответствует и большее значение функции.
4) В одной координатной плоскости построить графики функций:
Смотрите построение графика функции y=( 1 /2) x выше, графики остальных функций строим аналогично, вычислив их значения при х=0 и при х=±1.
Переменная х может принимать любое значение: D (y)=R, при этом область значений функции: E (y)=R+.
Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой степени не может быть равным нулю.
Все эти функции являются убывающими, так как большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Решить графически уравнения:
1) 3 x =4-x.
В одной координатной плоскости построим графики функций: у=3 х и у=4-х.
Графики пересеклись в точке А(1; 3).
2) 0,5 х =х+3.
В одной координатной плоскости строим графики функций: у=0,5 х
Графики пересеклись в точке В(-1; 2).
1) y=-2 x
Область значений показательной функции y=2 x – все положительные числа, т.е.
0+ 1 1 /3) x + 1 1 ;
Запишем функцию в виде: у=3 х ∙3-5.
0∙ 3 x ∙ 3 3 ;
Показательная функция определение, свойства, особенности построения графиков убывающей и возрастающей функций, область определения и применения, формулы, примеры решения
Правильное построение графика показательной функции является не такой простой задачей. Рекомендуется выяснить основные ее свойства, а также разобрать применение в жизненных ситуациях. В интернете информация о ней не систематизирована, и нужно выбирать из нескольких источников, а затем проверять. Начинать изучение следует с базовых понятий, после которых переходить к более сложным элементам.
Общие сведения
Функцией называется закон зависимости одной величины от другой. Выражается она при помощи выражений алгебраического, тригонометрического, иррационального и других типов. Существует два типа переменных, которые встречаются в любых функциях: зависимая и независимая. Последняя называется также аргументом.
Основной особенностью показательной функции считается ее вид, поскольку основанием является число, а степенью — аргумент. Последним называется независимая переменная, которая может принимать любые значения, кроме превращающих ее значение в пустое множество или неопределенность. Показательной называется функция вида z (y) = a^y (a > 0), которая зависит от аргумента в виде показателя степени «y».
Сферы использования
Применяется в описании различных законов роста какой-либо величины. В зависимости от показателя, функция может быстро возрастать. Иногда вместо основания «а» может быть указан символ экспоненты, которая стремительно возрастает. Пример показательной функции mc (t) = m0 * (½)^(t/T) используется при подсчете энергии, выделяемой во время деления ядер радиоактивного элемента за время t. Переменные и коэффициенты расшифровываются следующим образом:
Используя формулу геометрической прогрессии Sn = b1 * [(q^n) — 1] / (q — 1), можно без проблем вычислить значение. Первое значение b1 = 1, знаменатель q = 2 3 / 2 2 = 2 2 / 2 = 2 / 1 = 2. Общее число зерен определяется таким образом: S64 = 1 * [(2 64 ) — 1] / (2 — 1) = (2 64 ) — 1. Ученые подсчитали, что такое количество превышает урожай пшеницы на планете за 2008−2009 год в 1800 раз. Если воспользоваться справочником или компьютером, то S64 = 18446744073709551615 — 1 = 18446744073709551614.
Примеры иллюстрируют применение степенной функции в жизни, поскольку она может описывать явления природы, в которой протекают различные процессы. Например, деление клеток злокачественных опухолей, увеличение количества молекул озона при разрядах молнии и так далее.
Представление функции
Математики рекомендуют ознакомиться на начальных этапах с графиком показательной функции и ее свойствами. Графиком называется ее графическое представление в некоторой системе координат. В качестве последней распространена декартовая прямоугольная с двумя осями (ординат — z и абсцисс — y). Оси можно обозначать любыми литерами. Например, в формуле mc (t) = m0 * (½)^(t/T) рекомендуется использовать в качестве ординаты ось «mc», а абсциссой будет время t.
Необходимо рассмотреть свойства функции, а затем строить ее график. Они различаются между собой, поскольку существует несколько вариантов представления. Для правильного построения и анализа необходимо разобрать все варианты. Это позволит воспользоваться уже готовым материалом и существенно оптимизирует процесс решения задач. Представление функции состоит из свойств и графика.
Основные свойства
Свойствами функции z = a^y называется совокупность некоторых характеристик, присущих только ей. Они нужны не только для построения графика, но и для дифференцирования, анализа и интегрирования. Список свойств и полезных соотношений:
Свойства функции доказываются математическим путем. Они основаны на алгоритмах исследования ее поведения.
Доказательства некоторых утверждений
Соотношения необходимы для решения различных задач, основанных на дифференцировании, интегрировании и упрощении выражений. Можно доказать третье свойство, то есть попытаться найти минимум и максимум. Для нахождения экстремумов следует воспользоваться таким алгоритмом:
Точка пересечения с осью ординат рассчитывается таким образом: решается уравнение z = a^y относительно y, принимающего нулевое значение: z = a 0 = 1. Искомая точка имеет координаты (0;1).
Построение графиков
Для построения графика существуют свои правила, которых рекомендуют придерживаться математики. Процедура осуществляется в двух режимах: схематическом и точном. В первом случае нужно знать свойства. Таблица зависимостей значения от аргумента не составляется. При точном построении необходимо составить таблицу. В ней необходимо рассмотреть около 5-10 значений независимой переменной. Затем все точки отмечаются на декартовой системе координат и плавно соединяются.
Оформление играет очень важную роль, поскольку не допускаются исправления. Очень важно соблюдать масштаб, и не отмечать каждое значение шкалы делений на оси абсцисс и ординат. Следует учитывать, что графики чертят также в двух режимах: автоматизированном и ручном. В первом случае применяются специализированные программы и веб-приложения (онлайн-калькуляторы). В последнем необходимо чертить карандашом, используя линейку. Этот момент очень важен, поскольку приучает к дисциплине на уроках, а также повышает читабельность материала. Для примера нужно начертить график z = 2^y. Необходимо составить таблицу 1:
| z | 0,3 | 0,5 | 1 | 2 | 4 | 8 |
| у | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
Таблица 1. Зависимость значения от аргумента (z = 2^y).
По таблице нужно построить график, отмечая координаты каждой из точек. После этого нужно плавно их соединить. Должен получиться примерно такой график:
Рисунок 1. График z = 2^y (a > 0 и y > 0).
Если рассмотреть пример, в котором y > 0 и 0 0 график также существенно изменится, поскольку будет постоянно убывать:
Рисунок 3. Графическая иллюстрация при a 0.
Когда основание равно 0, тогда функция перестает быть показательной, поскольку не соблюдается условие из определения. На рисунке 4 представлен ее график:
Рисунок 4. Графическое представление при a = 0 и x > 0.
Последний случай — основание равно 1. Функция также не является показательной.
Рисунок 5. График при a = 1 и x > 0.
Кроме того, встречаются задачи не только на построение графика, но и на осуществление операций дифференцирования, нахождения производной и первообразной.
Правила дифференцирования
В некоторых задачах следует найти производную или дифференциал степенной функции. Для осуществления этой операции существует определенный алгоритм, который специалисты рекомендуют рассмотреть на конкретном примере. Условие задачи следующее: найти дифференциал z = 4^(6y). Для его нахождения нужно предпринять такие шаги:
Необходимо отметить, что производная берется из таблицы простейших (элементарных) функций. Когда выражение является сложным, как в примере, то дифференциал ищется по частям. Формула для сложного выражения имеет такой вид: [w(y(z(x)))]’ = [z(x)]’ * [y(z(x))]’ * [w(y(z(x)))]’. Соотношение трудно понять, но на примере все довольно просто. Например, нужно найти производную z = e^(2cos(2x^2 + 1)). Функция состоит из трех элементов: f = 2x^2 + 1, y = 2cos(f) и v = e^y.
Поиск первообразных
Отдельным классом задач является интегрирование или нахождение первообразных. Для этой цели применяются специальные таблицы интегралов простейших функций. Кроме того, можно воспользоваться и табличными значениями производных. Они позволяют найти искомое первообразное выражение. Интегрирование считается обратной операцией и позволяет найти тождество, из которого была получена производная.
Для нахождения интеграла a^y следует воспользоваться такой формулой: ∫(a^y)dy = ∫(e^(ln(a * y))dy = [1 / ln(a)] * ∫(e^(ln(a * y))d(ln(a * y) = [1 / ln(a)] * (e^(ln(a * y)) + C = [1 / ln(a)] * (a^y) + C. Коэффициент «С» — константа, которая при дифференцировании исчезает. Однако ее необходимо учитывать. Кроме того, необходимо постоянно следить за знаком интеграла и переменной, по которой находится первообразная.
Таким образом, для решения задач со степенной функцией нужно пользоваться свойствами и алгоритмами, поскольку это существенно сэкономит время и избавит от множества ошибок.