какая прямая называется касательной к графику функции
Касательная к графику функции, как составить уравнение, свойства, угловой коэффициент касательной проведенной к графику функции, формула, примеры решения
На экзаменах по дисциплинам с физико-математическим уклоном или при расчетах встречается тип задач о касательной к графику функции.
Однако следует разобраться в основных терминах и соотношениях.
Специалисты рекомендуют пользоваться специальным алгоритмом, позволяющим правильно находить точку касания прямой с какой-либо фигурой.
Общие сведения
Касательной называется прямая, имеющая с фигурой или графиком заданной функции одну общую точку. Однако иногда она проходит через 2 точки. В этом случае ее называют секущей. Прямая задается следующим уравнением: y = kx + b. Значение «k» — это угловой коэффициент.
Для решения задач следует разобрать основные понятия, определения, формулы и свойства касательной.
Кроме того, очень важно понять ее геометрический смысл, поскольку без него будет сложно разобраться в более сложных дисциплинах с физико-математическим уклоном.
Определения и понятия
У касательной есть определенный параметр — угол наклона (а).
Его необходимо отсчитывать от оси абсцисс (только положительное направление) к прямой, заданной графиком y = kx + b.
От него зависит ее расположение.
Коэффициент «к» равен значению тангенса угла наклона, т. е. tg(a).
Математики сделали некоторые выводы, которые основываются на значении углового коэффициента:
В первом, втором и третьем случаях коэффициент является положительным, а в последнем — отрицательным. Эти факты следует учитывать при решении задач. Касательная прямая может являться и секущей, т. е. соприкасаться с графиком функции сразу в двух и более точках. Следует отметить, что при параллельности прямой оси ОХ (y = b), она может пересекать функцию бесконечное число раз.
Геометрический смысл
Пусть дана некоторая функция y = f(x) и секущая АВ (рис. 1). Координаты последней в точках А и В следующие: А(х0;f(x0)) и В(х0+zx;f(x0+zx)). Величина «zx» — приращение аргумента по х, которое показано стрелками. Если подставить координаты в функцию, то она имеет такой вид: zy = zf(x) = f(x0+zx) — f(zx).
Рисунок 1. Геометрический смысл.
Соотношение, которое было получено выше, называется производной. Если к графику в точке проведена секущая или касательная, то тангенс угла будет равен самой производной заданной функции в точке с координатой х0.
Из этого определения можно сделать вывод о существовании производной. Если значение последней равно 0, то, следовательно, не существует общих точек с заданной фигурой.
Касательные к фигурам и графикам
При решении задач следует обратить внимание на частные случаи. Нужно произвести расчеты уравнения прямой или найти точки соприкосновения с окружностью, эллипсом, гиперболой или параболой. Очень распространенная задача встречается также в механике о ременной передаче.
Частные случаи позволят найти оптимальное решение и метод расчета, поскольку экономия времени является важным элементом при научных исследованиях, написании контрольных работ и сдаче экзаменов. Важный этап — идентификация типа задачи. Касательная к вышеперечисленным фигурам — основной тип заданий, но существуют и более сложные функции.
Например, сложно составить уравнение прямой, которая имеет точки касания с какой-либо сложной функцией.
В некоторых случаях необходимо перед выполнением расчетов ее упростить, т. е. привести подобные слагаемые, раскрыть скобки или воспользоваться другими приемами для упрощения выражения.
Одна и несколько окружностей
Радиус, который проводится через точку касания, составляет с касательной прямой угол (перпендикулярен). Перпендикуляр к касательной, проходящий через точку касания, является радиусом или диаметром заданного круга. Из этого следует, что радиус является нормалью по отношению к прямой. Секущая — прямая, которая проходит через график или фигуру, но имеет от двух и более точек пересечения.
Формула окружности с центром в точке О (xc;yc) и радиусом R имеет следующий вид: sqr(х-хc) + sqr(y-yc) = R^2.
Для решения следует выразить значение у, но при этом нужно рассматривать 2 случая:
Две функции являются полукругами и вместе образуют окружность. Чтобы составить график круга в точке (х0;у0), нужно уравнение в этой точке. В точках с координатами (хц;yц+R) и (хц;yц-R) уравнения касательных к окружности задаются следующими уравнениями: y = yц + R и y = yц — R. Если взять точки (хц+R;yц) и (хц-R;yц), они будут иметь такую форму: x = xц + R и x = xц — R.
В случае для двух окружностей всего можно провести до 4 касательных (2 внешних и 2 внутренних). Это зависит от случая расположения фигур. Точкой пересечения внешних считается внешняя гомотетия (подобие), а внутренних — в центре внутреннего подобия. Внешними называются прямые, которые касаются внешних точек круга. Если касательные являются внутренними, то они пересекают линию, соединяющую центры окружностей.
Следует отметить, что внешний и внутренний центры гомотетии лежат на некоторой прямой. Она проходит через центры заданных окружностей. Это был рассмотрен случай, когда одна окружность меньше другой.
Однако при равенстве их диаметров появляются некоторые свойства: внешние касательные параллельны и внешнего центра гомотетии не существует.
Основные соотношения можно вывести, используя уравнение прямой (касательной) и расстояние от точки до прямой. Пусть окружности с радиусами R1 и R2 имеют следующие координаты центров: с1(х1;у1) и с2(х2;у2). Уравнение прямой записывается таким образом: ах + by + c = 0. Расстояния до прямой от точек с1 и с2 вычисляются таким образом: ах1 + by1 + c = R1 и ах2 + by2 + c = R2. Формула находится с помощью вычитания первого уравнения из второго: а(х2 — х1) + b(y2 — у1) = R2 — R1. Следовательно, расстояние вычисляется по следующей формуле: d = sqrt[(х2 — х1)^2 + (y2 — у1)^2].
Эллипс, гипербола и парабола
Пусть задан эллипс с полуосями a и b.
В первом случае прямые параллельны оси ординат, а во втором — абсцисс. Чтобы написать уравнение прямой, нужно определить, к какой из функций принадлежит точка, выполнив подстановку в текущие равенства. После этого их следует проверить на тождественность.
Чтобы записать уравнение прямой-касательной к параболе y = ax^2 + bx + c в точке с координатами (x0;y(x0)), нужно привести равенство к следующему виду: y = y'(x0) * (x-x0) + y(x0). Из формулы можно сделать вывод о том, что прямая параллельна оси абсцисс. Параболу нужно рассматривать, как объединение двух функций (x = ay^2 + by + c). Рекомендуется решить его относительно y. Дискриминант вычисляется таким образом: D = b^2 — 4a(c — x).
В зависимости от его значения находятся корни:
Существует несколько типов задач на нахождение уравнения прямой, которая соприкасается с заданным графиком функции. Самой простой является задача со следующей формулировкой: прямая является касательной к графику функции. Найдите все точки касания. В этом случае задается уравнение графика функции и прямой. Некоторые задания считаются более сложными. В них необходимо написать уравнение касательной или касательных.
Рекомендации специалистов
Для решения задачи нужно внимательно прочитать условие и выяснить величины, которые следует найти. Все построено на нахождении производной функции. После этого нужно подставить значение координат точки в выражение первообразной. В некоторых случаях функция задается параметрически. Для удобства ее рекомендуется перевести в каноническую форму.
Рекомендуется разбивать задачу на несколько подзадач, поскольку будет очень просто выполнить проверку и исправить найденные ошибки. Существует несколько способов нахождения уравнения касательной: автоматизированный и ручной. В первом случае нужно использовать программное обеспечение. Оптимальным решением проблемы является онлайн-калькулятор.
При ручном режиме нужно решать, а иногда выполнить построение графика. Для оптимизации вычислений можно использовать Excel. График должен быть качественно построен и предельно понятен. В некоторых случая нужно будет вычислять предельные значения используя границы (lim).
Упражнения и ход вычислений
Нужно написать уравнение прямой-касательной к y(x) = x^3 — 2x^2 + 3 в т. xо = 2. Следует воспользоваться следующим алгоритмом:
Одним из типов задач является нахождение точек, лежащих на ОХ, в которых прямые (касательные) || OX. Задана функция f(x) = x^3 — x^2 — 3x + 7. Угол наклона равен 0 градусов, т. к. касательная || OX (производная в точках касания равна 0).
Алгоритм решения следующий:
Рекомендуется оставить в таком виде, поскольку при вычислении кубического корня появятся некоторые погрешности. В этих примерах необязательно составление графика.
Таким образом, геометрический смысл уравнения касательной к функции — производная. Следует изучить основные понятия, формулы и разобрать решение типовых задач. Также нужно повторить таблицу производных функций.
Справочник репетитора по математике. Касательные, экстремумы и исследования функций
Cправочник репетитора по математике предназначен для учащихся 5-11 классов и для преподавателей математики. Последние найдут в нем несколько оригинальных подходов к подаче и оформлению теоретических конспектов, упрощающих работу школьников с математическими понятиями и законами.
Касательная к графику функции.
Школьное определение касaтельной: прямая y=f (x) называется касательной к графику функции f (x) в точке 
если она проходит через точку 
и имеет угловой коэффициент 
.
Строгое определение касательной (из курса математического анализа) : прямая 
называется касательной к графику функции 
в точке , если при 
разность 
есть бесконечно малая величина, более высокого порядка малости чем 
Иллюстрация касательной m к графику функции 
в точке 
:
Геометрический смысл производной: Значение производной функции в точке равнo угловому коэффициенту касательной, проведенной к в точке , то есть 
, где k — угловой коэффициент касательной.
Комментарий репетитора по математике: угол наклона касательной определяется как направленный положительный угол, то есть тот самый угол, который вы привыкли откладывать на тригонометрическом круге от положительного направления оси OX против часовой стрелки. Поэтому, если если касательная отклонена влево от вертикального положения, ваш угол наклона окажется тупым, то есть принадлежащим промежутку 
. Так как тангенс любого такого угла (угла второй четверти) отрицательный, то отрицательной окажется и производная.
Общая форма уравнения касательной: 
Окончательная форма уравнения касательной : 
Полезные факты для решения задач на касательную:
1) две наклонный прямые параллельны, тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны.
Как найти угол наклона касательной по ее угловому коэффициенту:
Если 
, то 
Если 
, то 
Достаточный признак возрастания функции: если все значения производной некоторой функции положительны внутри промежутка, то функция внутри него строго возрастает.
Замечание репетитора по математике: если концы промежутка являются точками непрерывности функции (один или оба), то их можно присоденить к указанному промежутку возрастания.
Достаточный признак убывания функции: если все значения производной некоторой функции отрицательны внутри промежутка, то функция внутри него строго убывает.
Замечание репетитора по математике: если функция непрерывна на концах промежутка (на одном или на обоих), то эти концы можно присоединить к указанному промежутку убывания.
Блиц вопросы к репетитору:
Что такое критическая точка? Внутренняя точка области определения функции называется критической, если производная в этой точке либо не сущуствует, либо она равна нулю.
Что такое стационарная точка: Если у критической точки производная равна нулю — она называется стационарной точной.
Экстремумы
Минимум функции.
Определение: Точка называется точкой минимума функции , если в некотором промежутке I оси ОХ, содержащем для всех точек 
выполняется неравенство 
. В этом случае число 
называется минимумом функции в точке (или локальным минимумом).
Фрагмент графика функции, имеющей точку минимума:
Комментарий репетитора по математики к рисунку: знаки — и + на оси OХ показывают на отрицательные/положитлеьные значения производной в левой/правой окрестности точки . Стрелки указывают на возрастание и убывание функции в этих крестностях. Я советую репетиторам математики включать в теоретические памятки для учеником именно такую (интегрированную) иллюстрацию минимума.
Максимум функции.
Определение:Точка называется точкой максимума функции , если в некотором промежутке I оси ОХ, содержащем для всех точек выполняется неравенство 
. В этом случае число называется максимумом функции в точке (или локальным максимумом).
Фрагмент графика функции, имеющей точку максимума:
Комментарий репетитора по математике: все обозначения и опорные знаки для подачи материала преподавателем аналогичны случаю с минимумом.
Необходимое условие существования экстремума: если — точка экстремума и в этой точке существует производная, то она равна нулю, то есть 
. В этом случае касательная, проведенная к графику функции будет параллельна оси ОХ.
Признак минимума функции: если функция y=f (x) непрерывна в точке и производная меняет знак с минуса на плюс, то — точка минимума.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции y=f (x) на отрезке [a;b], на которм она непрерывна
1) Найдите производную 
от данной функции
2) Найдите стационарные точки, решив уравнение 
2*) В редких случаях функция может иметь точки, в которых производной не существует. Их тоже нужно выявить.
3) Выберите из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок
4) Найдите значения данной функции в выбранных точках
5) Выберите среди них наименьшее и наибольшее
План исследования функции с применением производной. Построение графика.
1) Найдите производную 
2) Разложите ее на множители (если это возможно) или приведите все ее дроби к общему знаменателю, а затем разложите числитель. Тем самым вы ее готовите к дальнейшему исследованию методом интервалов
2) Определите у функции критические и стационарные точки, приравнивая числитель и знаменатель ее производной к нулю
2*) Точки, в которых производной не существует (обычно это нули знаменателя) отесите в группу тех, в которых функция будет иметь вертикальные асимптоты
3) Отметьте все найденные точки на оси Х и раставьте методом интервалов на образовавшихся промежутках знаки производной
4) Определите промежутки монотонности (промежутки возрастания и убывания) и над каждым из них поставьте соответствующую стрелку в соответствии с видом этой монотонности
5) Определите через признак минимума и максимума (или по характеру расположения стрелок) соответствующие точки экстремумов и найдите значения функции в этих точках
6) Нанесите их на координатной плоскости и также по характеру стрелок проведите через эти точки график.
Замечание репетитора по математике: аккуратнее выполняйте рисунок вблизи асимптот. График функции не должен их пересекать и обрываться рядом с ними. Плавно приближайте его к асимтоте пока на это хватает выделенного пространства системы координат.
Удачи в изучении математики!
Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике, Москва, Строгино.
Виртуальный математический справочник профессионального репетитора — преподавателя.