какая система сил называется антипараллельной

Техническая механика

Теоретическая механика

Плоская система параллельных сил

Сложение двух параллельных сил, направленных в одну сторону

Система сил, линии действия которых лежат в одной плоскости и не пересекаются, называются системой параллельных сил.
При этом силы, линии действия которых параллельны, но векторы направлены в противоположные стороны, называют антипараллельными.

Из физики известно, что две параллельные силы, направленные в одну сторону, эквивалентны равнодействующей, которая равна сумме этих сил, параллельна им и направлена в ту же сторону; линия действия равнодействующей делит отрезок, соединяющий точки приложения данных сил на части, обратно пропорциональные модулям этих сил:

Применяя производную пропорцию, можно записать:

Разложение данной силы на две параллельные составляющие производится с помощью формул сложения двух параллельных сил.
Разложение силы на две параллельные составляющие есть задача неопределенная, имеющая бесчисленное множество решений. Для того чтобы задача имела определенное решение, необходимо иметь два дополнительных условия, например модуль одной составляющей и длину одного плеча, длины двух плеч и т. п.

Сложение двух неравных антипараллельных сил

Теорема

Две неравные антипараллельные силы эквивалентны равнодействующей, которая равна разности данных сил, параллельна им и направлена в сторону большей силы; линия действия равнодействующей делит отрезок, соединяющий точки приложения сил на части, обратно пропорциональные величине этих сил.

Из этих равенств найдем модуль составляющей F_Σ и расстояние АС до точки ее приложения (известно, что F₂‘ = F₂ ). Данная система сил ( F₁ и F₂ ) заменена системой трех сил:

На основании можно сделать вывод, что равнодействующая двух параллельных сил равна их алгебраической сумме.
Если на тело действует n параллельных сил, то производя последовательное сложение сначала двух сил, затем их равнодействующей с третьей силой и т. д., найдем модуль и линию действия равнодействующей всей системы параллельных сил.
Очевидно, что равнодействующая системы параллельных сил определится в результате, как алгебраическая сумма всех сил данной системы.
Таким образом, равнодействующая системы параллельных сил равна их алгебраической сумме:

Источник

Тема 1.4. Система произвольно расположенных сил

§1. Приведение пространственной системы сил к данному центру

Произвольной плоской системой сил называется совокупность сил, линии действия которых находятся в одной плоскости.

Теорема о параллельном переносе силы. Для переноса действующей на абсолютно твердое тело силы

из точки А (рис. 1, а) в точку О прикладываем в точке О силы и

Рис.1. Произвольной плоской системой сил

Рассмотрим теперь твердое тело, на которое действует какая угодно система сил

Чтобы сложить все полученные пары, надо геометрически сло­жить векторы моментов этих пар. В результате система пар заме­нится одной парой, момент которой или

называется главным моментом системы отно­сительно этого центра.

Рис.2. Система сил

Таким образом мы доказали следующую теорему, любая система сил, действующих на абсолютно твердое тело, при приведении к произвольно взятому центру О заменяется одной силой

Векторы и обычно определяют аналитически, т.е. по их проекциям на оси координат.

Выражения для R_x, R_y, R_z нам известны. Проекции век­тора на оси координат будем обозначать M_x, M_y, M_z. По тео­реме о проекциях суммы векторов на ось будет

Окончательно для определения проекций главного вектора и главного момента получаем формулы:

При этом главный вектор пространственной системы сил: R₀ = ΣP_i отличается от главного вектора плоской системы сил только наличием третьей компоненты, поэтому его модуль будет равен:

В зависимости от значений главного вектора и главного момента, а также от их взаимного расположения возможны следующие варианты приведения пространственной системы сил:

5) R₀ ≠ 0, M₀ ≠0 и главный вектор R₀ неперпендикулярен главному моменту M₀ – система эквивалентна скрещивающимся силам или динаме.

При этом скрещивающимися называются силы, которые непараллельны и не лежат в одной плоскости, а динамой называется система, состоящая из силы и пары сил, плоскость которой перпендикулярна этой силе.

Динама, приложенная к твердому телу, стремится вызвать его винтовое движение, которое представляет совокупность вращательного и поступательного движений.

Примечание: Для пространственной системы сил, как и для плоской, справедлива следующая Теорема Вариньона: Момент равнодействующей пространственной системы сил относительно произвольного центра (оси) равен геометрической (алгебраической) сумме моментов всех сил этой системы относительно данного центра (оси).

§2.Условия равновесия произвольной пространственной системы сил

Источник

Антипараллельные силы

СИСТЕМА ПАР СИЛ

Параллельные силы

Параллельные силы направлены в одну сторону

Рассмотрим твердое тело, на которое действуют две параллельные силы и , приложенные в точках и тела. Требуется определить модуль и точку приложения равнодействующей R этих двух сил.

.

Теорема: равнодействующая двух действующих на абсолютно твердое тело параллельных сил, направленных в одну сторону, равна по модулю сумме модулей слагаемых сил, им параллельна и направлена в ту же сторону. Линия действия равнодействующей проходит между точками приложения слагаемых сил на расстояниях от этих точек, обратно пропорциональных силам. (без доказательства)

Антипараллельные силы

Теорема: равнодействующая двух антипараллельных сил параллельна этим силам и направлена в сторону большей из них. Модуль равнодействующей равен разности модулей данных сил, а линия действия равнодействующей делит расстояния между точками приложения данных сил внешним образом на части, обратнопропорциональные этим силам.

, , .

Линия действия равнодействующей проходит через точку, лежащую вне отрезка и притом ближе к большей силе (рис. 4.2, б).

Рассмотрим частный случай, когда две антипараллельные силы равны по модулю (рис. 4.3, а). Такая система называется парой сил. Ранее получили , .

В данном случае , , , т.е. равнодействующая обращается в ноль, а точка ее приложения удаляется в бесконечность. Этот результат указывает на то, что в действительности пару сил невозможно заменить одной силой, ей эквивалентной, т.е. пара не имеет равнодействующей, и под действием пары сил тело может совершать только вращательное движение.

На практике пару сил мы применяем постоянно: поворачивая вентиль крана, чтобы потекла вода, вращая рулевое колесо автомобиля и т.д. (рис. 4.3, б). Так как под действием пары сил тело может совершать только вращательное движение, то действие пары характеризуется ее моментом. Алгебраическим моментом пары называется взятое со знаком плюс или минус произведение одной из сил пары на плечо пары (рис. 4.3, а):

,

здесь – плечо пары , т.е. кратчайшее расстояние между линиями действия сил и . Знак у момента пары определяется по тому же правилу, что и у момента силы относительно точки.

Теорема о сумме алгебраических моментов сил пары. Алгебраическая сумма моментов сил пары относительно любого центра, лежащего в плоскости действия пары, не зависит от выбора этого центра и равна моменту пары.

Доказательство: рассмотрим пару сил (рис. 4.4, а), лежащую в плоскости листа, и покажем, что сумма моментов, которую создают эти силы относительно любого центра, лежащего в плоскости листа, есть величина постоянная и равная моменту данной пары. Сначала определим момент данной

пары , а затем выбираем произвольный центр (рис. 4.4, б) и определяем относительно него моменты сил и : , .

Тогда , так как .

Эквивалентность пар

Теорема. Две пары, лежащие в одной плоскости и имеющие численно равные моменты и одинаковые направления вращения, эквивалентны.

Доказательство: даны две пары и , лежащие в одной плоскости и имеющие численно равные моменты и одинаковые направления вращения (рис. 4.5, а). Требуется доказать, что эти пары эквивалентны.

Покажем, что момент полученной пары будет численно равен моменту первоначальной пары . Для этого воспользуемся теоремой Вариньона, которая в данном случае будет иметь вид (рис. 4.5, в)

,

причем , так как линия действия силы пересекает точку . Следовательно, или .

Тогда учитывая, что , получаем . Учитывая, что у пар и одинаковые плечи и алгебраические моменты, получаем, что силы этих пар равны как по модулю, так и по направлению, т.е. данные пары эквивалентны.

Из доказанной теоремы получаем следствия.

Следствие 1. Данную пару, не изменяя ее действия на тело, можно как угодно переносить в плоскости ее действия. Следовательно, действие пары на тело не зависит от ее положения в своей плоскости.

Следствие 2. Не изменяя действия данной пары на тело, можно менять модули сил и плечо данной пары, но при условии, что ее момент и направление вращения остаются неизменными.

Следствие 3. Две данные пары всегда можно привести к одному плечу.

Источник

Теоретическая механика

9. Плоская система сил. Пара сил. Момент пары сил.

Плоская система сил

Система сил, действующих на плоскости, называется плоской системой сил. Особенностью плоской системы сил заключается в том, что линии действия этих сил уже не пересекаются в одной точке.

Одним из важнейших понятий плоской системы сил является понятие пары сил.

Парой сил называется система двух, равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на абсолютно твердое тело.

Согласно аксиоме №1 пара сил не находится в равновесии и не имеет равнодействующую.

Вычисление алгебраического момента пары сил. Для вычисления алгебраического момента пары сил, удобно воспользоваться результатом следующей теоремы.

Теорема. Алгебраическая сумма моментов сил, составляющих пару, относительно любого центра, лежащего в плоскости действия пары сил не зависит от выбора этого центра. Момент пары сил равен произведению одной из сил, составляющих пару на плечо пары.

Пусть в плоскости действует пара сил, как показано на рис.С.24.

Тогда, согласно определению алгебраического момента пары сил и в соответствии с правилом знаков для момента силы относительно центра можно записать

Таким образом, алгебраический момент пары сил не зависит от расстояния до центра и равен произведению модуля силы на плечо пары.

Что и требовалось доказать.

В дальнейшем необходимо рассмотреть следующие теоремы, выражающие основные свойства пар сил и устанавливающие условие эквивалентности двух пар сил.

Теорема. Две пары сил, лежащие в одной плоскости и имеющие численно равные моменты и одинаковое направление вращения, эквивалентны.

Доказательство теоремы проведем в несколько этапов.

4. Согласно теореме Вариньона

Из доказанной теоремы вытекают два важных следствия.

Следствие 1. У данной пары сил, не изменяя оказываемого действия, можно менять величину и направление сил, а также длину плеча, сохраняя при этом величину момента силы.

Следствие 2. Данную пару сил, не изменяя оказываемого действия, можно переносить куда угодно в плоскости действия пары. Следовательно, действие пары на тело не зависит от положения пары в ее плоскости. Таким образом, момент пары является свободным вектором!

Источник

Парой сил называется совокупность двух антипараллельных, равных по модулю, сил ( , ‘), действующих на абсолютно твердое тело, но не лежащих на одной прямой (рис. 1.12).

То есть две силы F и F’ образуют пару сил, если ­¯ ‘; F = F’, и они не лежат на одной прямой.

Плоскость, проходящая через линии действия сил пары, называется плоскостью действия пары. Кратчайшее расстояние между линиями действия пары сил называется плечом пары.

Пара сил, действующая на тело, стремится повернуть его. Вращательный эффект пары зависит от модулей сил пары, направления, в котором пара стремится вращать тело, положения в пространстве плоскости действия сил пары и плеча пары. Все эти факторы можно учесть, введя в рассмотрение вектор, называемый моментом пары сил.

Моментом пары сил называется вектор, направленный перпендикулярно плоскости действия силы пары, в сторону, откуда пара видна стремящейся вращать плоскость ее действия против хода часовой стрелки. Модуль момента равен произведению модуля любой из сил пары на плечо пары.

M( , ‘) = Fh. (1.6)

Вектор момента пары сил может быть определен как векторное произведение

( , ‘) = x , (1.7)

где – вектор, определяющий положение точки А приложения силы относительно точки В приложения силы .

Вектор момента может быть приложен к любой точке тела, к которому приложены силы пары, поэтому он называется свободным вектором.

В случае плоской системы сил момент пары сил определяется как алгебраическая величина

M( , ‘) = ±Fh, (1.8)

причем знак «+» выбирается, если пара сил вращает тело против хода часовой стрелки, и «-» в противном случае. На чертежах пара сил обычно условно обозначается в виде рис. 1.13. На этом рисунке буква М рядом с символическим обозначением пары сил характеризует модуль ее момента

К основным свойствам пар сил можно также отнести следующие:

– пару сил нельзя заменить равнодействующей, она эквивалентна
только другой паре сил или системе пар;

– две произвольные пары сил эквивалентны, если их моменты геометрически равны (векторы моментов равны по модулю, параллельны и направлены в одну сторону);

– система пар сил, действующих на абсолютно твердое тело, эквивалентна одной паре сил с моментом, равным геометрической сумме моментов слагаемых пар.

Из приведенных свойств пар сил следует, что любая пара сил полностью характеризуется своим моментом. Поэтому при описании системы сил, действующей на тело, в состав которой входят пары сил, достаточно задать только моменты этих пар.

Источник