какая волна является основной волной прямоугольного волновода

Основной тип поля в прямоугольном волноводе

На рис.4.1.1 показан прямоугольный волновод, представляющий собой прямоугольную металлическую трубку с тщательно отполированной внутренней поверхностью.

Рис.4.1.1. Волновод — металлическая труба, внутри которой распространяется электромагнитная волна.

Для определения распределения напряженностей электрического и магнитного полей в составе электромагнитной волны в волноводе необходимо решить уравнения Максвелла с учетом граничных условий на металлических стенках волновода: . Будем искать поля через векторный потенциал , который удовлетворяет векторному волновому уравнению:

В волноводе нет диэлектрических или магнитных вкладышей, поэтому диэлектрическая и магнитная проницаемости в волновом уравнении представлены проницаемостями свободного пространства (вакуума).

А) Решение уравнений Максвелла для прямоугольного волновода для случая , .

Будем искать простейшее решение. Положим векторный потенциал равным

, (4.1.1)

А скалярный потенциал независящим от координат и времени. Заданному таким образом векторному потенциалу соответствует .

Связь потенциалов и напряженностей полей:

(4.1.2)

Будем искать решение в виде волны, распространяющейся вдоль оси волновода Z:

(4.1.3)

Тогда векторное волновое уравнение превращается в скалярное волновое уравнение относительно Ау:

(4.1.4)

С граничными условиями: Ау = 0 При , (т. к. при , ) или для введенной функции :

при , (4.1.5)

То уравнение (4.1.4) можно переписать в виде:

(4.1.6)

Где ,

— Продольное волновое число для волновода или фазовая постоянная распространяющейся волны,

— поперечное волновое число.

(4.1.7)

Полученное уравнение (4.1.7) носит название Дисперсионного уравнения.

Для волновода принято обозначение:

(4.1.8)

Где — Длина волны в волноводе, так что дисперсионное уравнение связывает длину волны в волноводе с длиной волны в свободном пространстве на той же частоте.

Найдем из (4.1.6). Решение (4.1.6) ищем в виде:

Используя граничные условия (4.1.5), получим систему алгебраических уравнений относительно C1 и C2.

Система однородных алгебраических уравнений имеет решение, если определитель системы равен нулю:

или (4.1.9)

Это условие может быть выполнено, если

(4.1.10)

Где

Разные дают разные картины распределения поля в поперечном сечении волновода. Это — условие квантования решений уравнений Максвелла:

(4.1.11)

Вспомним, что , где — длина волны в свободном пространстве. Тогда

(4.1.12)

При n = 1 функция F (х) Определяет простейший тип поля прямоугольного волновода.

Б) Распределение поля в прямоугольном волноводе в случае простейшего типа поля.

Собирая вместе (2.1.3) и (2.1.13), получим для случая N = 1:

(4.1.14)

Используя (4.1.2), (4.1.3) и (4.1.13) получим:

,

(4.1.15)

Рис.4.1.2. Силовые линии электрического и магнитного полей основного типа поля в прямоугольном волноводе.

Назовем отношение Еу К Нх Волновым сопротивлением волновода:

(4.1.16)

(4.1.17)

На рис.4.1.2 показано распределение поля в фиксированный момент времени. Картина поля смещается вдоль оси z со скоростью vG.

(4.1.18)

VG — Скорость движения поверхности равных фаз или фазовая

Скорость волны в волноводе.

Рис.4.1.3. иллюстрирует линии поверхностного тока на внутренней поверхности волновода.

Рис. 2.1.3. Линии тока проводимости на внутренней поверхности прямоугольного волновода с основным типом поля.

В) Критическое значение длины волны волновода.

Для рассматриваемого нами простейшего случая N = 1 выражение (4.1.12) можно переписать следующим образом:

или (4.1.19)

Где λ — длина волны в свободном пространстве. В случае заполнения волновода средой с проницаемостью — λ соответствует длине волны в среде, Т. е.

На рис.2.1.4, а показана зависимость длины волны в волноводе от длины волны в свободном пространстве в случае вакуумного заполнения волновода.

Рис.4.1.4.Частотная дисперсия в радиоволноводе: а) длина волны в волноводе в функции от длины волны в вакууме б) зависимость частоты от фазовой постоянной.

Электромагнитная волна, у которой длина волны в вакууме больше критической длины волны волновода (), не может распространяться в волноводе. Для основного типа поля в прямоугольном волноводе .

Фазовая постоянная волны в волноводе

(4.1.20)

При Фазовая постоянная волны в волноводе β становится мнимым число, так что при поле, возбуждающееся в волноводе, уже не представляет собой волну, а экспоненциально затухает без изменения фазы.

Г) Групповая скорость волны в волноводе.

Итак, мы нашли фазовую скорость волны в волноводе.

(4.1.21)

Где с — скорость света в свободном пространстве при . Чему же равна групповая скорость волны в волноводе? В Главе 2 было получено выражение для групповой скорости (2.1.12). Перепишем его еще раз:

(4.1.22)

Введем понятие критической частоты волновода как

(4.1.23)

И запишем β Как функцию , используя (4.1.20) и (4.1.23)

(4.1.24)

Полученные соотношения иллюстрируются рис. 4.1.4, б. Они устанавливают ту же связь между частотой и фазовой постоянной, что и дисперсионное уравнение (4.1.7). Продифференцируем (4.1.24)

И подставим в (4.1.22). Тогда зависимость групповой скорости волны в волноводе от частоты примет вид:

(4.1.25)

Используя понятие критической частоты, выражение (4.1.21) для фазовой скорости можно записать как

(4.1.26)

Тогда из (4.1.25) и (2.1.26) получим:

(4.1.27)

При понижении частоты фазовая скорость в волноводе растет, а групповая падает при . Это означает, что сигнал в волноводе при распространяться не может.

На рис.4.1.5. показаны зависимости от частоты фазовой и групповой скоростей волн в волноводе при вакуумном заполнении.

Заметим, что связь между фазовой и групповой скоростями, которая определяется соотношением (4.1.27), не универсальна. Она справедлива только в частном случае волновода, несущего электромагнитную волну.

Рис.4.1.5. Фазовая и групповая скорости волны в волноводе в функции от частоты.

Д) Поток мощности через поперечное сечение волновода.

Воспользуемся вектором Пойнтинга (см. рис.4.1.6).

Согласно теореме Пойнтинга средний по времени поток активной мощности Р, проходящей через поперечное сечение S волновода в направлении его оси, может быть вычислен из соотношения:

,

Где вектор Пойнтинга , — комплексно-сопряженная амплитуда вектора напряженности магнитного поля.

Для основного типа поля имеем:

— волновое сопротивление волновода. Тогда

(4.1.28)

Из (4.1.17) и (4.1.19) следует, что (4.1.29)

Рис.2.1.6. Вектор Пойнтинга в прямоугольном волноводе с основным типом поля.

Вычисляя интеграл от вектора Пойнтинга по поперечному сечению волновода, получим поток мощности вдоль оси волновода:

(4.1.30)

— амплитуда напряженности электрического поля.

На рис.4.1.8 показано распределение векторов напряженности электрического поля, магнитного поля и вектора Пойнтинга в поперечном сечении волновода.

Рис.4.1.7. Векторы Е, Н и П в поперечном сечении волновода в функции координаты.

Преобразуем несколько выражение (4.1.30). Используя (4.1.29), получим:

. (4.1.31)

Используя выражение для групповой скорости (4.1.25), можем полученное соотношение для потока мощности через поперечное сечение волновода переписать так:

. (4.1.32)

Полученное соотношение можно интерпретировать следующим образом: При распространении волны объемная плотность энергии электромагнитного поля переносится через поперечное сечение волновода с групповой скоростью. В случае, когда , перенос энергии по волноводу прекращается.

Что будет, если изменить знак у β? Пре этом изменится знак у , а также направление вектора Пойнтинга. Таким образом, если изменить направление распространения волны в смысле направления движения поверхности постоянной фазы, то изменится и направление потока мощности.

Источник

6.2. Диаграмма типов волн. Основная волна прямоугольного волновода и ее

6.2.1. Диаграмма типов волн. Основная волна прямоугольного волновода

В прямоугольном волноводе могут распространяться множество электрических и магнитных волн, которые характеризуются коэффициентами m и n. Каждый тип волны может распространяться по волноводу при выполнении условия того, что рабочая длинна волны меньше критической.

Получим выражение для критической длинны волны, распространяющейся в волноводе.

6.25 – дисперсионное уравнение.

(6.25). (6.26)(6.27)

Определим критическую длину волны:

Нас интересует вопрос только распространения волны:

Получили коэффициент фазы 6.30.

Анализ выражения для критической длины волны (6.29) показывает, что при заданных размерах a и b определяет последовательность критических длин волн различных типов.

Чем больше значения индексов m и n, тем меньше критическая длина волны.

Тип волны в волноводе, обладающий наибольшей критической длинной, называют основным типом волны. Остальные типы волны – высшие типы волн.

Рассчитаем критическую длину волны для некоторых типов колебаний:

Выражения в таблице приведены в порядке возрастания.

На основании полученных результатов, представим наглядно диаграмму колебаний:

Область Iбесполезна, потому что там распространения волны нет. Длина волны больше критической.

Область II– отaи до 2aраспространяется основной тип волны. А мы всегда стремимся передавать Э.М. энергию одним типом колебаний.

Область III– множество типов колебаний – волны высших типов. Будет происходить дисперсия.

6.2.2. Методика построения структуры волн в прямоугольном волноводе

Разберем на примере основной волны H10.

Чтобы построить волну нужно знать математические выражения для продольной и для поперечной составляющей поля.

Подставляем эти коэффициенты в выражения для продольной составляющей поля:

Методика графического построения:

Наносится распределение продольной составляющей Hz вектора а в плоскости поперечного сечения a-a.

Hz(x) – одна полуволна косинуса.

Hz(y) – равномерное распределение

Строятся следы магнитных силовых линий продольного составляющего магнитного поля в поперечном сечении a-a. Максимум магнитных силовых линий у стенок волновода. Это сочетается с граничными условиями, т.к. магнитные силовые линии не замыкаются на стенках волновода. Они замкнуты сами на себе.

Строятся магнитные силовые линии вектора H в продольном сечении. Магнитные силовые линии всегда замкнуты сами на себе согласно 4 закону электродинамики. Вдоль оси z магнитное поле изменяется по закону косинуса. Поэтому на расстоянии одной длины волны можно изобразить (Рис. 6.6 средний). Если направить по часовой, то через половину длины волны будет в обратную сторону.

Магнитные силовые линии замыкаются вокруг тока смещения, т.к. тока проводимости нет.

Электрические силовые линии изображаются на расстоянии четверти длинны волны от тока смещения, т.к. чтобы получить сдвиг по фазе 90 градусов, волне нужно пройти четверть длины волны.

Силовые линии электрического поля вдоль оси волновода изменяются по закону синуса.

Таким образом структура поля волны повторяется при распространении через половину длины волны.

Рис. 6.6. Структура поля волны на участке одной длины волны в волноводе

Рис.6.6 – сечение b-b– изображены силовые линии электрического и магнитного полей.

Максимум магнитных силовых линий у стенок.

Максимум электрических силовых линий по краям. По краям густо, в середине пусто.

Проверим с помощью вектора Пойтинга.

Рис. 6.7. Направление вектора Пойнтинга

На основании закона непрерывности линии полного тока должны быть замкнуты . Следовательно, токи проводимости (поверхностные токи) замыкаются с токами смещения (рис.6.8).

Рис. 6.8. Структура линий полного тока

Объемная картина поля волны представлена на рис. 6.9.

Рис. 6.9. Объемная картина поля волнына участке одной длины волны в волноводе

Источник