Непрерывность функции в точке означает что большим приращением аргумента соответствуют

Непрерывность функции в точке, разрывы первого и второго рода

Процесс исследования функции на непрерывность неразрывно связан с навыком нахождения односторонних пределов функции. Поэтому, чтобы приступить к изучению материала данной статьи, желательно предварительно разобрать тему предела функции.

Непрерывность функции в точке

Данное определение позволяет вывести следствие: значение предела функции в точках непрерывности совпадает со значением функции в этих точках.

Решение

Соответствующая последовательность значений функций выглядит так:

на чертеже они обозначены зеленым цветом.

Соответствующая последовательность функций:

на рисунке обозначена синим цветом.

После вычисления значения функции в заданной точке очевидно выполнение равенства:

Устранимый разрыв первого рода

Решение

Ответ: пределы справа и слева являются равными, а заданная функция в точке х 0 = 5 не определена, т.е. в этой точке функция имеет устранимый разрыв первого рода.

Неустранимый разрыв первого рода

Неустранимый разрыв первого рода также определяется точкой скачка функции.

Решение

Определим пределы справа и слева от этих точек и значение заданной функции в этих точках:

Ответ: в конечном счете мы получили:

Нам остается только подготовить чертеж данного задания.

Разрыв второго рода (бесконечный разрыв)

Решение

Зададим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к х 0 слева. К примеру:

Ей соответствует последовательность значений функции:

Источник

Определение непрерывности функции в точке

Непрерывность в точке

Определение непрерывности

Определение непрерывности функции в точке
Функция f ( x ) называется непрерывной в точке x ₀ , если она определена на некоторой окрестности U ( x ₀) этой точки, включая саму точку, и если предел при x стремящемся к x ₀ существует и равен значению функции в x ₀ :
.

Здесь подразумевается, что x ₀ – это конечная точка. Значение функции в ней может быть только конечным числом.

Если привлечь сюда определение конечного предела функции в конечной точке, то можно дать развернутую формулировку определения непрерывности функции. Поскольку имеется два равносильных определения предела функции (по Коши и по Гейне), то можно дать, как минимум, еще два эквивалентных определения непрерывности.

Запишем эти определения с помощью логических символов существования и всеобщности.
По Гейне:
.
По Коши:
.

Определение отсутствия непрерывности

Непрерывность на концах отрезка

Определение непрерывности справа (слева)
Функция f ( x ) называется непрерывной справа (слева) в точке x ₀ , если она определена на некоторой правосторонней (левосторонней) окрестности этой точки, и если правый (левый) предел в точке x ₀ равен значению функции в x ₀ :
.

Примеры

Пример 1

Используем определение по Гейне

Используем определение по Коши

Пример 2

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Источник

Непрерывность функции

Понятие непрерывности функции.

Функция \(f(x)\), определенная в некоторой окрестности точки \(a\), называется непрерывной в точке \(a\), если
$$
\displaystyle \lim_f(x)=f(a)\label
$$

Таким образом, функция \(f\) непрерывна в точке \(a\), если выполнены следующие условия:

Определение непрерывности функции \(f(x)\) в точке \(a\), выраженное условием \eqref, можно сформулировать с помощью неравенств (на языке \(\varepsilon-\delta\)), с помощью окрестностей и в терминах последовательностей соответственно в виде

Следует обратить внимание на то, что в определении непрерывности функции, в отличие от определения предела, рассматривается полная, а не проколотая окрестность точки \(a\), и пределом функции является значение этой функции в точке \(a\).

Назовем разность \(x-a\) приращением аргумента и обозначим \(\Delta x\), а разность \(f(x)-f(a)\) — приращением функции, соответствующим данному приращению аргумента \(\Delta x\), и обозначим \(\Delta y\). Таким образом,
$$
\Delta x=x-a,\;\Delta y=f(x)-f(a)=f(a+\Delta x)-f(a).\nonumber
$$

При этих обозначениях равенство \eqref примет вид
$$
\lim_<\Delta x\rightarrow 0>\Delta y=0.\nonumber
$$

Таким образом, непрерывность функции в точке означает, что бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Показать, что функция \(f(x)\) непрерывна в точке \(a\), если:

По аналогии с понятием предела слева (справа) вводится понятие непрерывности слева (справа). Если функция \(f\) определена на полуинтервале \((a-\delta,a]\) и \(\displaystyle \lim_f(x)=f(a)\), то есть\(f(a-0)=f(a)\), то эту функцию называют непрерывной слева в точке \(a\).

Аналогично, если функция \(f\) определена на полуинтервале \([a,a+\delta)\) и \(f(a+0)=f(a)\), то эту функцию называют непрерывной справа в точке \(a\).

Например, функция \(f(x)=[x]\) непрерывна справа в точке \(x=1\) и не является непрерывной слева в этой точке, так как \(f(1-0)=0,\;f(1+0)=f(1)=1\).

Очевидно, функция непрерывна в данной точке тогда и только тогда, когда она непрерывна как справа, так и слева в этой точке.

Точки разрыва.

Будем предполагать, что функция \(f\) определена в некоторой проколотой окрестности точки \(a\).

Точку \(a\) назовем точкой разрыва функции \(f\), если эта функция либо не определена в точке \(a\), либо определена, но не является непрерывной в точке \(a\).

Следовательно, \(a\) — точка разрыва функции \(f\), если не выполняется по крайней мере одно из следующих условий:

Если \(a\) — точка разрыва функции \(f\), причем в этой точке существуют конечные пределы слева и справа, то есть \(\displaystyle \lim_f(x)=f(a-0)\) и \(\displaystyle \lim_f(x)=f(a+0)\), то точку \(a\) называют точкой разрыва первого рода.

Если \(x=a\) — точка разрыва первого рода функции \(f(x)\), то разность \(f(a+0)-f(a-0)\) называют скачком функции в точке \(a\). В случае когда \(f(a+0)=f(a-0)\), точку \(a\) называют точкой устранимого разрыва. Полагая \(f(a)=f(a+0)=f(a-0)=A\), получим функцию
$$
f(x)=\left\<\beginf(x),\;если\;x\neq a,\\A,\;если\;x=a,\end\right.\nonumber
$$
непрерывную в точке \(a\) и совпадающую с \(f(x)\) при \(x\neq a\). В этом случае говорят, что функция доопределена до непрерывности в точке \(a\).

Пусть \(x=a\) — точка разрыва функции \(f\), не являющаяся точкой разрыва первого рода. Тогда ее называют точкой разрыва второго рода функции \(f\). В такой точке хотя бы один из односторонних пределов либо не существует, либо бесконечен.

Например, для функции \(f(x)=\displaystyle x\sin<\frac<1>>\) точка \(x=0\) — точка разрыва первого рода. Доопределив эту функцию по непрерывности, получим функцию
$$
\overline(x)=\left\<\begin
x\sin<\frac<1>>,\;если\;x\neq 0,\\
0,\;если\;x=0,
\end\right.\nonumber
$$
непрерывную в точке \(x=0\), так как
$$
\lim_x\sin\frac<1>=0.\nonumber
$$

Для функций \(\displaystyle \sin<\frac<1>>\) и \(\displaystyle \frac<1>\) точка \(x=0\) — точка разрыва второго рода.

Если функция \(f\) определена на отрезке \([a,b]\) и монотонна, то она может иметь внутри этого отрезка точки разрыва только первого рода.

\(\circ\) Пусть \(x_0\) — произвольная точка интервала \((a,b)\). Функция \(f\) имеет в точке \(x_<0>\) конечные пределы слева и справа. Если, например, \(f\) — возрастающая функция, то
$$
f(x_<0>-0)\leq f(x_<0>)\leq f(x_<0>+0),\nonumber
$$
где \(f(x_<0>-0)\) и \(f(x_<0>+0)\) — соответственно пределы функции \(f\) слева и справа в точке \(x_<0>\).

Свойства функций, непрерывных в точке.

Локальные свойства непрерывной функции.

Если функция \(f\) непрерывна в точке \(a\), то она ограничена в некоторой окрестности этой точки, то есть
$$
\exists\delta>0\quad\exists C>0:\;\forall x\in U_<\delta>(a)\rightarrow|f(x)|\leq C\nonumber
$$

Если функция \(f\) непрерывна в точке \(a\), причем \(f(a)\neq 0\), то в некоторой окрестности точки \(a\) знак функции совпадает со знаком числа \(f(a)\), то есть
$$
\exists\delta>0:\quad\forall x\in U_<\delta>(a)\rightarrow \operatorname\ f(x)=\operatorname\ f(a).\nonumber
$$

\(\circ\) Эти утверждения следуют из свойств пределов. \(\bullet\)

Непрерывность суммы, произведения и частного.

Если функции \(f\) и \(g\) непрерывны в точке \(a\), то функции \(f+g\), \(fg\) и \(f/g\) (при условии \(g(a)\neq 0\)) непрерывны в точке \(a\).

\(\circ\) Это утверждение следует из определения непрерывности и свойств пределов. \(\bullet\)

Непрерывность сложной функции.

Напомним, что такое сложная функция.

Пусть функции \(y=\varphi(x)\) и \(z=f(y)\) определены на множествах \(X\) и \(Y\) соответственно, причем множество значений функции \(\varphi\) содержится в области определения функции \(f\). Тогда функция, которая принимает при каждом \(x\in X\) значение \(F(x)=f(\varphi(x))\), называется сложной функцией или суперпозицией (композицией) функций \(\varphi\) и \(f\).

Если функция \(z=f(y)\) непрерывна в точке \(y_0\), а функция \(y=\varphi(x)\) непрерывна в точке \(x_0\), причем \(y_0=\varphi(x_0)\), то в некоторой окрестности точки \(x_0\) определена сложная функция \(f(\varphi(x_0))\), и эта функция непрерывна в точке \(x_0\).

\(\circ\) Пусть задано произвольное число \(\varepsilon>0\). В силу непрерывности функции \(f\) в точке \(y_0\) существует число \(\rho=\rho(\varepsilon)>0\) такое, что \(U_\rho(y_0)\subset D(f)\) и
$$
\forall y\in U_\rho(y_0)\rightarrow f(y)\in U_<\varepsilon>(z_<0>),\label
$$
где \(z_<0>=f(y_<0>)\).

В силу непрерывности функции \(\varphi\) в точке \(x_<0>\) для найденного в \eqref числа \(\rho>0\) можно указать число \(\delta=\delta_<\rho>=\delta(\varepsilon)>0\) такое, что
$$
\forall x\in U_\delta(x_0)\rightarrow \phi (x)\in U_\rho (y_0).\label
$$

Из условий \eqref и \eqref следует, что на множестве \(U_\delta(x_0)\) определена сложная функция \(f(\varphi(x))\), причем
$$
\forall x\in U_\delta(x_0)\rightarrow f(y)=f(\varphi(x))\in U_<\varepsilon>(z_<0>),\nonumber
$$
где \(z_0=f(\varphi(x_0))=f(y_<0>)\), то есть
$$
\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0:\quad \forall х\in U_\delta(x_0)\rightarrow f(\varphi(х))\in U_\varepsilon(\varphi(x_0)).\nonumber
$$

Это означает, в силу определения непрерывности, что функция \(f(\varphi(x))\) непрерывна в точке \(x_0\). \(\bullet\)

Соответствие между окрестностями точек \(x_0,\ y_0,\ z_0\) представлено на рис. 11.1. По заданному числу \(\varepsilon>0\) сначала находим \(\rho>0\), а затем для чисел \(\rho>0\) находим \(\delta>0\).

Рис. 11.1

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Функцию \(f(x)\) называют непрерывной на отрезке \([a,b]\), если она непрерывна в каждой точке интервала \((a,b)\) и, кроме того, непрерывна справа в точке \(a\) и непрерывна слева в точке \(b\).

Ограниченность непрерывной на отрезке функции.

Если функция \(f\) непрерывна на отрезке \([a,b]\), то она ограничена, то есть
$$
\exists C>0:\forall x\in[a,\ b]\rightarrow|f(x)|\leq C.\label
$$

\(\circ\) Предположим противное, тогда
$$
\forall C>0\;\exists x_\in [a,b]:\;|f(x_)|>C.\label
$$

Полагая в этом выражении \(C=1,2\ldots,n,\ldots,\) получим, что
$$
\forall n\in\mathbb\quad\exists x_\in[a,b]:\;|f(x_)|>n.\label
$$

Последовательность \(x_n\) ограничена, так как \(a\leq x_\leq b\) для всех \(n\in\mathbb\). По теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность, то есть существуют подпоследовательность \(x_\) и точка \(\xi\) такие, что
$$
\lim_x_>=\xi,\label
$$
где в силу условия \eqref для любого \(k\in\mathbb\) выполняется неравенство
$$
a\leq x_>\leq b.\label
$$

Из условий \eqref и \eqref следует, что \(\xi\in [а,b]\) а из условия \eqref в силу непрерывности функции \(f\) в точке \(\xi\) получаем
$$
\displaystyle \lim_f(x_>)=f(\xi).\label
$$

С другой стороны. утверждение \eqref выполняется при всех \(n\in\mathbb\) и, в частности, при \(n=n_k\;(k=1,2,\ldots)\), то есть
$$
|f(x_>)|>n_,\nonumber
$$
откуда следует, что \(\displaystyle \lim_f(x_>)=\infty\), так как \(n_\rightarrow +\infty\) при \(k\rightarrow\infty\). Это противоречит равенству \eqref, согласно которому последовательность \(\>)\>\) имеет конечный предел. По этому условие \eqref не может выполняться, то есть справедливо утверждение \eqref. \(\bullet\)

Теорема Вейерштрасса неверна для промежутков, не являющихся отрезками. Например, функция \(f(x)=\displaystyle \frac<1>\) непрерывна на интервале \((0,1)\), но не ограничена на этом интервале. Функция \(f(x)=x^<2>\) непрерывна на \(\mathbb\), но не ограничена на \(\mathbb\).

Достижимость точных граней.

Если функция \(f\) непрерывна на отрезке \([a,b]\), то она достигает своей точной верхней и нижней грани, то есть
$$
\exists\xi\in[a,b]:\quad f(\xi)=\sup_ f(x),\label
$$

\(\circ\) Так как непрерывная на отрезке функция \(f(x)\) ограничена (теорема 3), то есть множество значений, принимаемых функцией \(f\) на отрезке \([a,b]\), ограничено, то существуют \(\displaystyle \sup_f(x)\) и \(\displaystyle \inf_f(x)\).

Докажем утверждение \eqref. Обозначим \(M=\displaystyle \sup_f(x)\). В силу определения точной верхней грани выполняются условия
$$
\forall х\in [a,b]\rightarrow f(x)\leq M,\label
$$
$$
\forall\varepsilon>0\;\exists x(\varepsilon)\in[a,b]:\quad f(x(\varepsilon))>M-\varepsilon.\label
$$

Полагая \(\varepsilon=\displaystyle \frac<1><2>, \displaystyle \frac<1><3>,\ldots,\frac<1>,\ldots\), получим в силу условия \eqref последовательность\(\\), где \(x_n=\displaystyle x\left(\frac1n\right)\), такую, что для всех \(n\in\mathbb\) выполняются условия
$$
x_n\in [a,b],\label
$$
$$
f(x_)>M-\displaystyle \frac<1>.\label
$$

Из соотношений \eqref, \eqref и \eqref следует, что
$$
\forall n\in\mathbb\rightarrow M-\frac<1>\; Замечание 4

Теорема 4 неверна для интервалов: функция, непрерывная на интервале, может не достигать своих точных граней. Например, функция \(f(x)=x^<2>\) не достигает на интервале (0,1) своей точной нижней грани, равной нулю, и точной верхней грани, равной единице.

Промежуточные значения.

(теорема Коши о нулях непрерывной функции)

Если функция \(f\) непрерывна на отрезке [a,b] и принимает в его концах значения разных знаков, то есть \(f(a)f(b)\; Доказательство

\(\circ\) Разделим отрезок \([a,b]\) пополам. Пусть \(d\) — середина этого отрезка. Если \(f(d)=0\), то теорема доказана, а если \(f(d)\neq 0\), то в концах одного из отрезков \([a,d],\ [d,b]\) функция \(f\) принимает значения разных знаков. Обозначим этот отрезок \(\Delta_<1>=[a_<1>,b_<1>]\). Пусть \(d_<1>\) — середина отрезка \(\Delta_1\). Возможны два случая:

Продолжая эти рассуждения, получим:

С другой стороны, из неравенства \eqref следует, что \(b_-a_\rightarrow 0\) при \(n\rightarrow\infty\), и поэтому
$$
\exists n_0\in\mathbb:\quad b_>-a_>\; Замечание 5

Теорема 5 утверждает, что график функции \(y=f(x)\), непрерывной на отрезке \([a,b]\) и принимающей в его концах значения разных знаков, пересекает ось \(Ox\) (рис. 11.2) хотя бы в одной точке отрезка \([a,b]\).

Рис. 11.2

(теорема Коши о промежуточных значениях)

Если функция \(f\) непрерывна на отрезке \([a,b]\) и \(f(a)\neq (b)\), то для каждого значения \(C\), заключенного между \(f(a)\) и \(f(b)\), найдется точка \(\xi\in [a,b]\) такая, что \(f(\xi)=C\).

\(\circ\) Обозначим \(f(a)=A,\ f(b)=B\). По условию \(А\neq В\). Пусть, например, \(A 0\) и по теореме 5 найдется точка \(\xi\in [a,b]\) такая, что \(\varpi(\xi)=0\), то есть \(f(\xi)=C\). Утверждение \eqref доказано. \(\bullet\)

Если функция \(f\) непрерывна на отрезке \([a,b],\ m=\displaystyle \inf_ f(x),\ M=\displaystyle \sup_ f(x)\), то множество значений, принимаемых функцией \(f\) на отрезке \([a,b]\), есть отрезок \([m,M]\).

\(\circ\) Для всех \(x\in[a,b]\) выполняется неравенство \(m\leq f(x)\leq M\), причем согласно теореме 4 функция \(f\) принимает на отрезке \([a,b]\) значения, равные \(m\) и \(М\). Все значения из отрезка \([m,M]\) функция принимает по теореме 6. Отрезок \([m,M]\) вырождается в точку, если \(f(x)=const\) на отрезке \([a,b]\). \(\bullet\)

Существование и непрерывность функции, обратной для непрерывной и строго монотонной функции.

Ранее мы уже рассматривали понятие обратной функции. Докажем теорему о существовании и непрерывности обратной функции.

Если функция \(y=f(x)\) непрерывна и строго возрастает на отрезке \([a,b]\), то на отрезке \([f(a),(b)]\) определена функция \(x=g(y)\), обратная к f, непрерывная и строго возрастающая.

\(\circ\) Существование обратной функции. Обозначим \(A=f(a),\;B=f(b)\). Так как f — возрастающая функция, то для всех \(х\in [a,b]\) выполняется неравенство \(A\leq f(x)\leq B\), где \(A= \displaystyle \inf_ f(x),\;B=\sup_f(x)\), и в силу непрерывности f (следствие из теоремы 6) множество значений функции \(E(f)=[A,B]\).

Согласно определению обратной функции (\S\ 9,п. 9) нужно доказать, что для каждого \(у_0\in [A,В]\) уравнение
$$
f(x)=y_<0>\label
$$
имеет единственный корень \(x=x_<0>\), причем \(x_0\in [a,b]\).

Существование хотя бы одного корня уравнения \eqref следует из теоремы 6. Докажем, что уравнение \eqref имеет на отрезке \([a,b]\) единственный корень.

Предположим, что наряду с корнем \(x=x_<0>\) уравнение \eqref имеет еще один корень \(x=\widetilde_<0>\), где \(\widetilde_<0>\neq x_0\); тогда \(f(\widetilde)=y_<0>,\;\widetilde x_0\in[a,b]\).

Пусть, например, \(\widetilde_0>x_0\). Тогда в силу строгого возрастания функции \(f\) на отрезке \([a,b]\) выполняется неравенство \(f(\widetilde_0)>f(x_<0>)\). С другой стороны, \(f(\widetilde_0)=f(x_0)=y_<0>\). Отсюда следует, что неравенство \(\widetilde_0>x_<0>\) не может выполняться. Следовательно, \(\widetilde_0=x_0\). Существование обратной функции доказано, то есть на отрезке \([A,В]\) определена функция \(x=f^<-1>(y)=g(y)\), обратная к \(f\), причем \((g)=[a,b]\) и
$$
g(f(x))=x,\quad x\in[a,b],\quad f(g(y))=y,\quad u\in [A,B].\label
$$

Монотонность обратной функции. Докажем, что \(g(y)\) — строго возрастающая на отрезке [A,В] функция, то есть
$$
\forall\;y_<1>,\;y_<2>\in [A,B]:\quad y_<1>\; Замечание 6

Если функция \(f\) непрерывна и строго убывает на отрезке \([a,b]\), то обратная к ней функция \(g\) непрерывна и строго убывает на отрезке \([f(b),f(a)]\).

Аналогично формулируется и доказывается теорема о функции \(g\), обратной к функции \(f\), для случаев, когда функция \(f\) задана на интервале (конечном либо бесконечном) и полуинтервале.
Если функция \(f\) определена, строго возрастает и непрерывна на интервале \((a,b)\), то обратная функция \(g\) определена, строго возрастает и непрерывна на интервале \((A,B)\), где
$$
A=\lim_f(x),\quad B=\lim_f(x).\nonumber
$$

Источник

Непрерывность функции и точки разрыва

п.1. Приращение аргумента и приращение функции

Пусть \(y=3x-1\) \(x_0=1,\ x=1,1 \)

п.2. Непрерывность функции в точке и на промежутке

На «языке ε-δ» определение непрерывности будет следующим:

ε-δ определение непрерывности похоже на ε-δ определение предела функции, с той разницей, что модуль \(|x-x_0|\) может быть равен 0 для непрерывной функции, т.е. сама точка \(x_0\) входит в δ-окрестность.

Все три представленных определения непрерывности функции в точке эквивалентны.
Существуют и другие эквивалентные определения. Мы дадим ещё одно из них дальше, в этом же параграфе.

п.3. Непрерывность функции на промежутке

Промежуток – это интервал, отрезок, луч и т.п. (см. §16 справочника для 8 класса).

График непрерывной функции – это непрерывная линия.
Кроме непрерывности, эта линия еще и «плавная», без «заломов».
При наличии заломов функция называется кусочно-непрерывной.

Непрерывная функция

Кусочно-непрерывная функция

п.4. Односторонние пределы

Рассмотрим гиперболу \(y=\frac<1>\).

Теперь рассмотрим параболу \(y=x^2-2\)
Областью определения параболы является вся числовая прямая \(x\in\mathbb\)

Это еще одно определение непрерывности, которым удобно пользоваться на практике.

п.5. Классификация точек разрыва

п.6. Точки разрыва первого рода

\(y= \begin x+1,\ x\lt 2\\ 3-x^2,\ x\geq 2 \end , x_0=2\) Односторонние пределы: \begin \lim_f(x)= \lim_(x+1)=3\\ \lim_f(x)= \lim_(3-x^2)=-1 \end Пределы не равны, но конечны.

п.7. Точки разрыва второго рода

В точках разрыва 2-го рода хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или не существует.

\(y=e^\frac1x, x_0=0\)

Точка \(x_0=0\) – точка разрыва второго рода.

На практике, при моделировании реальных процессов, разрывы 2-го рода в функциональных зависимостях встречаются довольно часто. Их положено заботливо анализировать и тщательно обходить, выбирая рабочие участки характеристических кривых, – чтобы «система не пошла в разнос».

п.8. Алгоритм исследования функции на непрерывность

На входе: функция \(y=f(x)\)
Шаг 1. Найти ОДЗ функции, определить точки и промежутки, не принадлежащие ОДЗ.
Шаг 2. Составить множество точек, в которое входят точки и границы промежутков, не принадлежащие ОДЗ, а также – для кусочно-непрерывных функций – точки сшивания. Полученное множество состоит из точек, подозрительных на разрыв.
Шаг 3. Исследовать каждую из точек, подозрительных на разрыв, с помощью односторонних пределов. Если разрыв обнаружен, определить тип разрыва.
На выходе: список точек разрыва и тип разрыва для каждой точки.

п.9. Примеры

Источник