О чем говорит теорема котельникова
Теорема Котельникова
DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов
Распространяется под лицензией LGPL v3
Мы уже отмечали, что (1) справедливо вне зависимости от величины и формы спектральной плотности исходного сигнала.
В данном разделе мы рассмотрим фундаментальную теорему, которая формулирует условия однозначного представления непрерывного сигнала набором равноотстоящих дискретных отсчетов, взятых с интервалом с.
(1), имеет вид как это показано на рисунке 1.
При (рисунок 1б) копии спектральной плотности частично перекрываются по частоте, как это показано штриховкой, и смешиваются в результате суммирования копий при дискретизации сигнала.
Выражение представляет собой интерполяционную формулу, позволяющую восстановить аналоговый сигнал по его дискретным отсчетам, как это показано на рисунке 2.
Прошло без малого сто лет с опубликованной В.А. Котельниковым работы, а споры вокруг первенства доказательства не утихают. Приведем историческую справку.
В 1915 году Э. Уиттакер опубликовал работу [5], в которой вводил интерполяционный ряд вида (3), названный им кардинальным рядом. Однако он не ставил цели найти однозначного представления функций при помощи дискретных отсчетов, а стремился заменить «плохие», с точки зрения анализа функции (имеющие бесконечные разрывы или быстрые осцилляции), рядом (3).
Таким образом, Э. Уиттакер вводит интерполяционный ряд, но не приводит теоремы об однозначном представлении функции рядом (3), а напротив, говорит, что интерполяционных рядов может быть бесконечно много.
В 1933 году В.А. Котельников опубликовал свою статью [1], в которой впервые появляется теорема:
К сожалению, работа В.А. Котельникова не была переведена на английский язык, и широкая научная дискуссия началась только после публикации К. Шеннона [2], в результате чего, в англоязычной литературе принято называть данную теорему именем К. Шеннона.
В данном разделе мы ввели рассмотрели фундаментальную теорему теории цифровой обработки сигналов: теорему Котельникова.
Мы рассмотрели спектральную плотность дискретного сигнала и условия, при которых возможно восстановление аналогового сигнала по имеющимся дискретным отсчетам.
В следующем разделе мы рассмотрим некоторые эффекты практической дискретизации сигналов и некоторые обобщения теоремы Котельникова.
Об одной особенности теоремы Котельникова
Написать данную статью меня вдохновила следующая задача:
Как известно из теоремы Котельникова, для того, чтобы аналоговый сигнал мог быть оцифрован а затем восстановлен, необходимо и достаточно, чтобы частота дискретизации была больше или равна удвоенной верхней частоте аналогого сигнала. Предположим, у нас есть синус с периодом 1 секунда. Тогда f = 1∕T = 1 герц, sin((2 ∗ π∕T) ∗ t) = sin(2 ∗ π ∗ t), частота дискретизации 2 герца, период дискретизации 0,5 секунды. Подставляем значения, кратные 0,5 секунды в формулу для синуса sin(2 ∗ π ∗ 0) = sin(2 ∗ π ∗ 0,5) = sin(2 ∗ π ∗ 1) = 0
Везде получаются нули. Как же тогда можно восстановить этот синус?
Поиск в интернете ответа на данный вопрос не дал, максимум того, что удалось найти — это различные дискуссии на форумах, где приводились довольно причудливые аргументы за и против вплодь до ссылок на эксперименты с различными фильтрами. Следует указать, что теорема Котельникова — это математическая теорема и доказывать или опровергать ее следует только математическими методами. Чем я и занялся. Оказалось, что доказательств этой теоремы в различных учебниках и монографиях достаточно много, но найти, где возникает данное противоречие мне долгое время не удавалось, поскольку доказательства приводились без многих тонкостей и деталей. Скажу также, что и сама формулировка теоремы в разных источниках была различной. Поэтому в первом разделе я приведу детальное доказательство этой теоремы, следуя оригинальной работе самого академика (В.А.Котельников ‘О пропускной способности «эфира»и проволоки в электросвязи.’ Материалы к I Всесоюзному съезду по вопросам технической реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности. 1933 г.)
Сформулируем теорему, как она дана в первоисточнике:
Любую функцию F(t), состоящую из частот от 0 до f1 периодов в секунду, можно представить рядом
где k — целое число; ω = 2πf1; Dk — постоянные, зависящие от F(t).
Доказательство: Любая функция F(t), удовлетворяющая условиям Дирихле (конечное число максимумов, минимумов и точек разрыва на любом конечном отрезке) и интегрируемая в пределах от −∞ до +∞, что вседа в электротехнике имеет место, может быть представлена интегралом Фурье:
т.е. как сумма бесконечного количества синусоидальных колебаний с частотами от 0 до +∞ и амплитудами C(ω)dω и S(ω)dω, зависящими от частоты. Причем
В нашем случае, когда F(t) состоит лишь из частот от 0 до f1, очевидно
и поэтому F(t) может быть представлена так:
функции же C(ω) и S(ω), как и всякие другие на участке
могут быть представлены всегда рядами Фурье, причем эти ряды могут, по нашему желанию состоять из одних косинусов или одних синусов, если мы возьмем за период двойную длину участка, т.е. 2ω1.
Примечание автора: здесь надо дать пояснение. Котельников использует возможность дополнить функции C(ω) и S(ω) таким образом, чтобы C(ω) стала четной, а S(ω) нечетной функцией на двойном участке относительно ω1. Соответственно на второй половине участка значения этих функций будут C(2∗ω1 −ω) и −S(2∗ω1 −ω). Эти функции отражаются относительно вертикальной оси с координатой ω1, а функция S(ω) еще и меняет знак
Введем следующие обозначения
Интегрируем и заменяем ω1 на 2πf1:
Неточность в теореме Котельникова
Все доказательство выглядит строгим. В чем же проблема? Для понимания этого обратимся к одному не очень широко известному свойству обратного преобразования Фурье. Оно гласит, что при обратном преобразовании из суммы синусов и косинусов в исходную функцию, значение этой функции будет равно
то есть восстановленная функция равна полусумме значений пределов. К чему это приводит? Если наша функция непрерывная, то ни к чему. Но если в нашей функции есть конечный разрыв, то значения функции после прямого и обратного преобразования Фурье будут несовпадать с исходным значением. Вспомним теперь шаг в доказательстве теоремы, где интервал удваивается. Функция S(ω) дополняется функцией −S(2 ∗ ω1 − ω). Если S(ω1) (значение в точке ω1) равно нулю, ничего плохого не происходит. Однако если значение S(ω1) не равно нулю, восстановленная функция не будет равна исходной, поскольку в этой точке возникает разрыв равный 2S(ω1).
Вернемся теперь к исходной задаче про синус. Как известно, синус — нечетная функция, образ которой после преобразования Фурье есть δ(ω − Ω0) — дельта функция. То есть в нашем случае, если синус имеет частоту ω1, получаем:
Очевидно, что в точке ω1 суммируюся две дельта-функции от S(ω) и −S(ω) образуя ноль, что мы и наблюдаем.
Теорема Котельникова, безусловно, великая теорема. Однако она должна быть дополнена еще одним условием, а именно
В такой формулировке исключаются граничные случаи, в частности случай с синусом у которого частота равна граничной частоте ω1, поскольку для него использовать теорему Котельникова с приведенным выше условием нельзя.
Теореме Котельникова 85 лет
В 2018 году исполнились юбилейные 110 лет со дня рождения выдающегося советского и российского ученого в области радиотехники Владимира Александровича Котельникова (1908−2005), и одновременно исполнилось 85 лет сформулированной им и доказанной теореме о дискретизации сигналов, которую можно назвать одной из главных в теории цифровой связи и обработки сигналов.
В честь таких знаменательных дат в этом уходящем году захотелось успеть написать статью об этом легендарном человеке и поподробнее рассказать о его легендарной теореме, которую сегодня учат тысячи студентов технических вузов. Стоит отметить, что это не только студенты радиотехнических и телекоммуникационных институтов, а студенты практически всех технических вузов, сталкивающихся в тех или иных дисциплинах с цифровыми сигналами. Причем таких столкновений происходит больше, чем, пожалуй, на мировом чемпионате по регби, учитывая тот факт, что сегодня почти любое техническое устройство работает на уровне цифровых сигналов, будь то телескоп, медицинский ЭКГ-аппарат, видеокамера, спектрометр или какой-либо датчик.
Но конечно уж кто и должен хорошо знать данную теорему, так это каждый уважающий цифровые системы передачи связист, за исключением того случая, если он является так сказать «старовером» и работает только лишь с одними полностью аналоговыми системами.
Стоит отметить, что, к сожалению, многие знают фамилию Котельникова лишь по названию «теоремы Котельникова», несмотря на многие другие его немаловажные достижения. Постараемся исправить эту невежественную ситуацию.
История появления теоремы отсчётов
Рис.1 Володя Котельников
Когда Володе Котельникову было 10 лет, он впервые увидел радиопередатчик то ли у красных, то ли у белых. Любопытный мальчик спросил у папы: «Как это устроено?». Отец постарался объяснить сыну как с помощью невидимых и неслышимых радиоволн передают сообщения и также сказал: «Ты этого пока не поймешь». Обычно после такого ответа Володя старался придумать свое объяснение непонятного ему явления или устройства, и это ему как-то удавалось. В этом же случае он оказался бессилен. Радио его потрясло!
Для школьной стенгазеты он написал статью о радио, для этого, правда, пришлось самостоятельно поразбираться с тригонометрией, которую в школе он еще не проходил.
В связи с увлечением с юношеских лет радиотехникой в 1926 году поступил на Электротехнический факультет Московского высшего технического училища (МВТУ) имени Н.Э.Баумана (ныне МГТУ). Во время обучения, один из институтов университета – Московский энергетический институт (МЭИ) выделился из МВТУ как самостоятельный институт, поэтому Владимир Александрович в 1930 году получил диплом МЭИ и против своей воли оказался в аспирантуре. Он мечтал распределиться в Центральную радиолабораторию, но как одного из лучших выпускников его зачислили в аспирантуру МЭИ.
В 1932 г. будучи 24 летним аспирантом он сформулировал и доказал знаменитую теорему отсчётов, вошедшую в число основополагающих принципов теории цифровой связи.
Рис. 2 Молодой автор теоремы отсчётов
На самом деле в своей публикации В. А. Котельников доказал семь теорем, две из которых являются основополагающими, а остальные их дополняют и конкретизируют. Их значение так велико, что, по сути, они являются основой современной теории и практики цифровой электрической связи, радиотехники и цифровой обработки сигналов.
Ниже представлены формулировки двух основных теорем Котельникова.
Это выражение принято называть рядом Котельникова (но лучше говорить рядом Уиттакера-Котельникова, позже обсудим почему). Промежутки времени T, через которые берутся отсчёты s (kT), получили название интервалов Найквиста. Верхнюю частоту спектра сигнала обозначают по-разному: fb, fmax и т.д.
Члены ряда Котельникова представляют собой функции отсчётов (рис. 3а), сдвинутых друг относительно друга по времени на величину T (рис. 3б), умноженных на величину дискретного значения сигнала x(kt). Суммирование конечного числа членов ряда позволяет получить сигнал, который будет приближаться к аналоговому сигналу (рис. 4).
Рис. 3 Функции отсчётов
Рис. 4 Восстановление сигнала с помощью ряда Уиттакера-Котельникова
Рис. 5 Разные примеры отображения дискретного сигнала
Дискретные значения сигнала x(kT) называют дискретными отсчётами. Не отчет типа годовой отчет о работе, а отсчёт от глагола отсчитать с буквой ё! (Когда читаешь в газете: «В ближайшие дни страна передохнет от холода» начинаешь понимать важность буквы ё.)
Название научной статьи Котельникова, в которой были представлены данные теоремы, по современным меркам звучит несуразно «О пропускной способности «эфира» и проволоки в электросвязи». Однако не стоит удивляться, в те времена радиотехника как наука только зарождалась и, по-видимому, термин «проволока» считался в теории электросвязи общепринятым. В те времена еще вовсю велись споры о том, что представляет собой амплитудно-модулированный сигнал: синусоидальное колебание с медленно изменяющейся амплитудой или набор спектральных компонент.
Хотя «I Всесоюзный съезд по вопросам технической реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности», на котором Котельников должен был сделать доклад по своей работе, не состоялся, издательство Управления связи РККА отпечатало 3000 экз. сборников трудов конференции и выпустило в открытую продажу по цене 1 р. 35 коп. Автор понимал теоретическое и особенно практическое значение этой работы и в 1936 г. попытался опубликовать ее в виде статьи в более широко читаемом специалистами научно-техническом журнале «Электричество», но получил отказ!
Рис. 6 Редакция журнала 11.10.1936 г. прислала Котельникову официальный отказ «из-за перегруженности текущего номера журнала и узкого интереса данной статьи, учитывая профиль нашего журнала».
Котельников решил продолжить работу дальше, забыв об этом эпизоде и не делая попытки вновь опубликовать работу.
Примечательно то, что Котельников и Клод Шеннон, сформулировавший теорему отсчётов 8 годами позже, были соратниками по неудачному опубликованию своих трудов. В редакцию американского Института радиоинженеров (IRE, впоследствии IEEE) статья Шеннона поступила 23 июля 1940 г., а опубликована лишь в 1949 г. У 24-летнего «доктора философии в области математики» Клода Шеннона так же, как и у 24-летнего инженера В.А. Котельникова, с публикацией теоремы отсчётов были проблемы!
Путаница в названиях теоремы отсчётов: вклад Котельникова, Уиттакера, Шеннона и Найквиста в теорию сигналов
В отечественной литературе установилась традиция называть теорему отсчётов теоремой Котельникова. В зарубежной литературе эту теорему обычно называют теоремой Шеннона, в честь выдающегося американского инженера-связиста и математика Клода Шеннона, или теоремой Найквиста, в честь американского электроинженера шведского происхождения Гарри Найквиста или теоремой Уиттакера-Шеннона, в честь всемирно известного английского математика Эдмунда Уиттакера. Встречаются также следующие названия: теорема Найквиста-Шеннона, теорема Уиттакара-Шеннона, кардинальная теорема интерполяции (cardinal theorem of interpolation) и даже теорема Уиттакера-Найквиста-Котельникова-Шеннона. В англоязычной литературе встречается также понятие «интерполяционная формула Уиттакера-Шеннона».
Несомненно, что это множество различных названий одной и той же теоремы дискретизации запутывает студентов. Например, человек может рассказать теорему Котельникова, однако если его спросить о теореме Найквиста, он скажет, что не знает ее. Вот свежий пример такой путаницы – комментарии на YouTube к опубликованной недавно видео лекции по ЦОС на тему теоремы Котельникова.
Кроме того, читая англоязычную работу или переведенную книгу, студент может спутать теорему дискретизации, называемую теоремой Найквиста-Шеннона (Nyquist–Shannon theorem), с другими теоремами Шеннона, например о пропускной способности канала. Чтобы понять, почему теорема дискретизации имеет столько различных названий и не путаться в них, необходимо изучить историю зарождения данной теоремы и заслуги каждого из ее «авторов». Итак, начнем раскладывать все по полочкам.
С математической точки зрения интерполяция функций с помощью ряда вида:
рассматривалась еще в 1914 г. известным английским математиком Эдмундом Уиттакером, поэтому такой ряд справедливо будет называть рядом Уиттакера. Очевидно, что при a=0 данный ряд эквивалентен ряду, который представлял в своей работе Котельников. Однако это не означает, что автором теоремы отсчётов следует считать Э. Уиттакера. Работа Э. Уиттакера относится лишь к одному из возможных методов интерполяции произвольных функций, он не подразумевал использование этого ряда для представления сигналов и тем более не отмечал его прикладного применения для передачи и восстановления сигналов.
В зарубежной литературе теорема отсчётов часто называется теоремой Найквиста, который в 1928 года опубликовал работу «Certain topics in telegraph transmission theory» («Некоторые вопросы теории телеграфной передачи») или теоремой Шеннона, который в 1940 г. в своей фундаментальной для теории связи статье как и Котельников доказал теорему отсчётов. Некоторые авторы усматривают в работе Найквиста эвристическую формулировку теоремы отсчётов, несмотря на то, что проблемой дискретизации он не занимался и не приводил какой-либо математической формулировки или доказательства теоремы. По сути, Найквиста оценил теоретически предельно достижимую скорость передачи элементарных посылок через телеграфный канал связи, рассматривая его как линейный фильтр нижних частот с частотой среза F. Он доказал, что интервал между соседними элементарными телеграфными посылками не может быть меньше, чем величина 1/(2F) .
Доказательством того, что теорему отсчётов по праву можно называть теоремой Котельникова служит тот факт, что в 1999 г. немецкий фонд Эдуарда Рейна, который отмечал выдающиеся научные достижения XX в. и который удостоил К. Шеннона в 1991 г. премии за теорию информации, справедливо присудил Владимиру Александровичу Котельникову премию «За впервые математически точно сформулированную и опубликованную теорему отсчётов». В 2000 г. американский Институт электро- и радиоинженеров – IEEE (англ. Institute of Electrical and Electronics Engineers), в трудах которого в 1949 г. была опубликована статья К. Шеннона 1940 г., удостоил В.А. Котельникова Золотой медали А. Белла.
Учитывая все приведенные выше обстоятельства, теорему отсчётов по праву можно называть теоремой В.А. Котельникова, первым сформулировавшим и доказавшим ее в 1932 г. (но обычно принимают год сборника со статьей – 1933 г., сама статья Котельникова была подписана к печати 19.11.1932 г.). Учитывая обобщение теоремы отсчётов Клодом Шенноном на стационарные случайные процессы, а также независимую формулировку теоремы отсчётов 23.07.1940 г., допустимо в названии теоремы приписывать фамилию Шеннона.
В 1977 г. при расстановке приоритетов теорему отсчётов было предложено называть WKS-теоремой, т.е. теоремой Уиттакера-Котельникова- Шеннона (Whittaker-Kotelnikov-Shannon).
В то же время во многих зарубежных книгах и материалах при рассмотрении теоремы отсчетов до сих пор не упоминается фамилия Котельникова.
Рис. 9 Выдержка из англоязычного учебника по теории сигналов
Вследствие таких печальных обстоятельств возникла идея провести анализ лекционных материалов крупных зарубежных университетов на тему упоминания авторов теоремы отсчетов и посмотреть, рассказывают ли иностранным студентам о русском ученом В.А. Котельникове.
При рассмотрении sampling theorem идет упоминание только фамилий Шеннон, Найквист, Уиттакер. Ниже представлен пример слайда, на котором написано:
«Теорема о дискретизации соотносится с Клодом Шенноном, который первым сформулировал ее в 1949»
Рис. 10 Пример слайда к лекции по дискретизации сигналов в зарубежном университете
Таким образом, результаты изучения лекций множества зарубежных институтов говорят о том, что до сих пор иностранным студентам не говорят о вкладе Котельникова в теорию дискретизации. Удалось найти только один факт того, что студентам говорят:
«The first formulation of the sampling theorem precisely and applied it to communication is probably a Russian scientist by the name of V. A. Kotelnikov in 1933.»
Рис.11 В.А. Котельников
Про теорему Котельникова можно много что еще сказать, но мы на этом пока остановимся.
Теорема Котельникова «для чайников» простыми словами
Попробуем нестандартно в сравнении с книгами по радиоэлектронике и цифровым системам связи, простыми житейскими примерами объяснить суть теоремы Котельникова. Если читатель еще не знаком с теоремой отсчётов, то рекомендуется сначала изучить ее формулировку в деловом официальном стиле. Смотрите, например, прошлую статью.
Аналоговые и дискретные процессы в природе
Абсолютное большинство процессов в природе протекают непрерывно, (изменение температуры воздуха на улице, давления, влажности, изменение скорости ветра, колебание электрического тока в проводнике, сияние Солнца). Почему все эти процессы непрерывны? Нам кажется, что время течет непрерывно, а значит в каждый момент времени должно существовать какое-то значение температуры воздуха или значение силы тока в проводнике, или значение интенсивности света Солнца. Непрерывные процессы, функции или сигналы называют аналоговыми (от слова аналог – нечто сходное, подобное чему-то, т.е. функция как модель является аналогом какому-то физическому процессу). Можно наблюдать множество непрерывных процессов в природе, например, непрерывный поток воды в источнике. Струя воды при падении вниз сужается как раз в силу поддержания непрерывности потока.
Аналоговый сигнал даже на конечном временном промежутке подразумевает набор бесконечного числа значений. Однако регистрирующие устройства, как правило фиксируют конечное число значений, поэтому мы получаем дискретные сигналы (дискретный от лат. discretus означает раздельный, состоящий из отдельных частей).
Представление непрерывного и дискретного сигналов.
Поскольку человек не может оперировать с бесконечными числами и величинами, обычно все округляем до ближайших целых чисел – в результате получаем цифровые сигналы. Например, мы наносим цифровую шкалу на столбик термометра и фиксируем округленное значение температуры. Непрерывное время мы разбиваем на секунды минуты, часы – наносим цифры на циферблат часов. Все символьные и знаковые системы, созданные человечеством для обмена информацией, использует конечное число возможных элементов.
Поскольку все вычислительные информационные устройства могут работать лишь с дискретными символьными системами и с цифровыми сигналами, постоянно возникает необходимость в переходе от существующих в природе непрерывных процессов, к дискретным и цифровым. С развитием цифровой связи и цифровых устройств (микроконтроллеров, компьютеров) постоянно и повсеместно на каждом шагу выполняется аналого-цифровое преобразование сигналов, неотъемлемой частью которого является дискретизация сигналов. Но здесь важно следующее: перейти от непрерывного сигнала к дискретному дело нехитрое – здесь удачно подходит выражение «ломать не строить». По аналогии можно сказать «ломать аналоговый сигнал – не восстанавливать его», здесь все просто реализовать, но главное при этом выполнить дискретизацию правильно. Одно дело просто произвести выборку отдельных значений сигнала, но есть еще другое дело – потом надо будет по этим значениям снова восстановить исходный непрерывный сигнал. Как правильно дискретизировать сигналы говорится в теореме о дискретизации сигналов, или ее можно называть в честь автора – теоремой Котельникова.
Если не знать теорему Котельникова
Итак, мы выяснили, что как и множество процессов в природе, электрические сигналы, используемые во всей электронике и системах связи бывают аналоговые и дискретные. В цифровых системах необходимо переходить от аналоговых сигналов к дискретным, при этом переход должен быть корректным.
Наглядный пример номер раз. Давайте посмотрим на примере двух музыкальных фрагментов, что будет, если осуществлять дискретизацию сигнала некорректно.
Вот что будет при неправильной оцифровке музыки
Вот что будет при неправильной оцифровке речи
Наглядный пример № 2. На рисунке ниже представлены 7 сигналов, каждый из которых соответствует своей музыкальной ноте – До, Ре, Ми, Фа, Соль, Ля, Си. Все они оцифрованы с частотой дискретизации 1700 Гц.
Давайте послушаем, что из этого получилось.
Надеюсь, с музыкальным слухом все в порядке и вы услышали, что с последними двумя прозвучавшими нотами что-то не так. Если не знать теорему Котельникова, то будет непонятно, почему звук при дискретизации исказился. Поэтому давайте разбираться в этой теореме.
Наглядное, но нестандартное объяснение теоремы о дискретизации
Представим себе, что мы работники Animal Planet и хотим изучить траекторию движения в джунглях какой-нибудь редкой змейки из красной книги. Назовем, например, изучаемую змею Зигзагусс.
С целью исследования мест обитания змеи и ее повадок цепляем к ее хвосту GPS-датчик, который будет регистрировать ее местоположение в отдельные моменты времени.
Вопрос: как надо запрограммировать датчик, чтобы мы получили точную траекторию движения змейки, т.е. получили самый подробный график траектории движения юркой змейки со всеми ее виляниями и изгибами? Через сколько миллисекунд или секунд датчику необходимо будет записывать и посылать нам очередную координату положения в пространстве?
Допустим, наша змея Зигзагусс ползет гармонично – ее хвост совершает гармонические колебания и ее движения можно описать синусоидальными функциями.
Фото настоящего следа от змеи на песке.
Траектория движения представляет собой колебания с различными частотами. Так вот, по правилам теоремы о дискретизации, чтобы восстановить всю траекторию движения змейки, необходимо найти составляющую колебаний самой высокой частоты.
Если по дискретным точкам мы сможем восстановить составляющую колебаний самой высокой частоты, то мы сможем восстановить всю траекторию змейки. Определим периоды всех колебаний (см. рисунок ниже).
В этом случае можно будет с высокой точностью восстановить всю непрерывную траекторию движения исследуемой змеи.
Предположим теперь, что Зигзагусс опьянилась запахом одурманивающего цветка и стала ползти негармонично, несуразно.
В этом случае для определения периода дискретизации нам необходимо самим отыскать гармонию в данной кривой функции, а она есть внутри любого сигнала всегда, что пытался в свое время доказать всем людям французский математик Жан-Батист Фурье. Также как любое тело можно разложить на множество атомов, также и полученную сложную функцию (от траектории змеи), можно разложить на множество гармонических функций. Физические тела разные, потому что они отличаются друг от друга структурой молекул. Например, мы говорим H2O – это вода, что означает: молекула воды состоит из двух атомов водорода H и одного атома кислорода O. Точно также можно сказать, что разные сигналы отличаются разным составом. Например, такой вот сигнал
состоит из двух гармонических функций (синус и косинус) с частотой 1000 Гц и одного синуса с частотой 2000 Гц (2000 Гц означает, что гармоника совершает 2 тысячи колебаний в секунду). В соответствии с условием теоремы Котельникова, о котором мы уже ранее говорили, для такого сигнала временной интервал между дискретными точками необходимо брать таким, чтобы он был меньше половины периода самой высокой частоты. В нашем случае имеется гармоника с максимальной частотой 2 тысячи колебаний в секунду (2000 Гц), значит период сигнала равен 1/2000 = 0.005 секунд и значит период между дискретными точками должен быть менее, чем 0.005/2 = 0.0025 секунды.
Чтобы определить требуемый период между дискретными точками для траектории нашей змейки, необходимо определить из каких гармонических функций она состоит, а точнее нас интересует значение частоты наивысшей гармонической функции (т.е. фиолетовой на рисунке).
Делим период фиолетовой гармоники пополам, и получаем граничное значение для периода дискретизации функции траектории одурманенной змеи. Все, задача решена, можно произвести дискретизацию данного сложного сигнала.
Знаем и соблюдаем условия теоремы Котельникова
Теперь, когда мы знаем теорему Котельникова, давайте еще раз рассмотрим задачу правильного перехода от аналоговых 7 сигналов- музыкальных нот к дискретным. Итак, у нас есть семь гармонических колебаний, с частотами
Для правильной дискретизации, чтобы не было искажений, необходимо взять частоту дискретизации не менее в два раза больше максимальной частоты сигнала. Ранее мы брали частоту 1700 Гц, но как можно посчитать, такая частота подходит для сигналов нот До – Соль (для ноты Соль требуется частота дискретизации 784*2=1568 Гц), а вот для сигналов нот Ля и Си значение 1700 Гц уже не годится.
Еще раз рассмотрим дискретизацию наших сигналов
Как видно из рисунка из-за несоблюдения условий теоремы Котельникова для сигналов Ля и Си с частотами 880 Гц и 988 Гц, через получившиеся дискретные отсчёты можно провести другие гармонические сигналы (красные функции), частоты которых меньше 1700 Гц / 2 = 850 Гц. Произошел эффект, который называют наложение спектров (в англоязычной литературе – aliasing). В рамках данной статьи «для чайников» мы не будем подробно рассматривать этот эффект, поскольку здесь уже требуются знания спектрального анализа сигналов. Этот эффект интересен тем, что объясняет условия теоремы Котельникова с позиций представления сигналов в частотной области (см. рисунок ниже). Если разобраться в этом, то теорема Котельникова и принципы восстановления сигналов станут более понятными. Описание этого эффекта можно найти почти в каждой книге по цифровой обработке сигналов.
Но сейчас новичкам в этой области главное запомнить результат несоблюдения теоремы отсчётов – восстановление сигналов по имеющимся дискретным отсчётам будет неоднозначно. Чтобы такого не происходило, необходимо чтить теорему Котельникова.
Максимальная частота среди наших 7 сигналов 988 Гц (нота Си), следовательно частота дискретизации должна быть больше, чем 2*988=1976 Гц. Важно здесь неуместно отметить, что в 1976 году был создан первый персональный компьютер – начался кустарный выпуск Apple I.
Значит надо выбрать частоту дискретизации больше значения 1976.
Вот как будут звучать семь наших сигналов при частоте дискретизации 2000 Гц.
Задачка для разминки мозгов
Нельзя сказать, что эта задачка очень простая для начинающих и ее решит любой. Новички в этой области не унывайте, если не получится (здесь нужны знания теории сигналов), ну а тот, кто решит, может собой гордиться.
С двух датчиков регистрируются сигналы
Какой должна быть минимальная частота дискретизации в АЦП по условию теоремы о дискретизации, если К – операция сложения и если К – операция умножения?