какая система счисления использовалась в месопотамии
Так считали древние. Вавилон
Это продолжение задуманной мной серии про историю вычислений и счета. Первая статья про Египет здесь.
Сейчас я попробую немного рассказать о другой великой цивилизации и культуре прошлого. Вавилонское царство возникло в начале 2-го тысячелетия до нашей эры, оно пришло на смену Шумеру и Аккаду и существовало до завоевания Персами в 539 г. до н.э. Писали в Вавилоне, как все помнят, на глиняных табличках с помощью клинописи, которые очень неплохо сохраняются в отличие от бумаги, папируса, и подобных вещей, поэтому мы знаем достаточно много и про Вавилон, и про его математику. Но, конечно, мы не знаем всего. В отличие от греков вавилоняне не оставили точных алгоритмов и ясных объяснений своих приемов. Теперь мы можем только догадываться как именно вавилоняне действовали в том или ином случае при решении задачи. В этой работе я сосредточусь в основном на вавилонской арифметике, оставив в стороне геометрию, алгебру и астрономию.
Вавилоняне в математике продвинулись намного дальше египтян, насколько нам известно, хотя и не сравнялись с греками, видимо. Они уже умели решать квадратные уравнения, кроме того имели некоторые зачатки числовой алгебры. Одно из их достижений было введение позиционной шестидесятеричной системы счисления без нуля. Это означает, что обращение с числами стало значительно более гибким и простым, чем в Египте. Точно не известно, откуда взялась такая система. Одна из версии говорит, что к ней привело смешение 6-ичной и 10-ичной систем народов Шумера и Аккада. Но существуют и другие мысли на этот счет.
Эта система, к сожалению (может и к счастью, не хотелось бы учить их таблицу умножения) не была освоена другими народами Древнего Мира, и пришлось ждать прихода индийской позиционной системы. Однако, кое-какое отражение вавилонской математики в нашей культуре осталось: деление минуты на шестьдесят секунд и часа на 60 минут — это отзвук древней вавилонской системы счисления.
Цифры и система счисления
На картинке показано, как вавилоняне обозначали 1 и 10. С их помощью изображались все числа от 1 до 59. На картинке ниже показано число 33. Это аналогично римской и другим непозиционным системам записи чисел.
Число 60 обозначалось точно так, как и единица. В начале оно рисовалось крупнее, но позже это различие стерлось. Числа больше 60, но меньше, чем 120 обозначались следующим образом: сначала писалось число 60, потом через пробел остальная часть числа, меньшая 60.
Ниже пример числа 63
Месопотамская система чисел
Жители Междуречья первыми придумали письменность, астрономию, математику (алгебру и геометрию), календарь и систему мер и весов, бухгалтерию и деньги.[11] Ещё в убейдский период (ок. 3800-5500 гг. до н.э.) месопотамские архитекторы были знакомы со множеством геометрических принципов, такими как треугольники 1:2, 1:4, 3:5, 3:4:5 и 5:12:13 для планировки зданий,[12] а примерно к 3000 г. до н.э. писцы работали с невероятно большими и малыми числами.[13] Жители Междуречья с помощью очень сложных и интересных вычислений первыми пришли к логарифмам и экспонентам,[14] они умели решать системы линейных и квадратных уравнений с двумя и более неизвестными,[15] и вычислили число «пи» с точностью в 0,6%.[16] Так называемую теорему Пифагора больше, чем за 1000 лет до Пифагора придумали жители Междуречья, и им она была известна не только для частных случаев, но и в полном общем виде.[17]
Математические тексты шумеров или вавилонян (народов, живших в Южном Междуречье) показывают, что эти люди как минимум к периоду Урука (ок. 3100 г. до н.э.) регулярно пользовались шестидесятеричной системой счисления. Наряду с числами 60 и 10, на которых была основана их комбинированная шестидесяти-десятеричная система, число 6 использовалось также в особой «двухшестидесятеричной» системе.[18] У нас всё ещё остались элементы месопотамской шестидесятеричной системы в виде деления круга на 360 градусов, градусов и часов на 60 минут, а минут на 60 секунд. Месопотамская шестидесятеричная основа счёта времени была отражена также в их году по 360 (60 x 6) дней, в котором нехватка дней в реальном 365-дневном году восполнялась за счёт добавления раз в шесть лет «13-ого месяца» (он назывался ити дириг).[19] Шестидесятеричная система (с основанием 60) дала шумерам возможность построить семейство очень взаимосвязанных систем измерения с цепочками встречающихся в природе стандартных единиц, с которыми было легко обращаться при вычислениях.[20]
Единственным недостатком шумерской системы счисления была её неоднозначность. Шумеры записывали свою систему чисел клинописью – набором клинообразных знаков, выдавленных в глиняные табличках. Хотя вавилоняне разработали важный принцип «позиции» (обозначение разряда по месту) при записи чисел, абсолютное значение цифр, выдавленных на клинописных табличках, оставалось делом изощрённых догадок.[21] Ещё одна неопределённость возникла из-за того, что пустое место в клинописном тексте иногда могло обозначать ноль (у жителей Междуречья не было знака для нуля).[22] На практике такие неоднозначности для месопотамских писцов серьёзными не были, ведь разряд величины и позиция цифр можно было понять по контексту таблички (напр., из того, обозначены ли порции ячменя, серебряные кольца или что-то ещё). Однако, такие контекстуальные неоднозначности могли создавать путаницу для более поздних еврейских переписчиков Библии, которые не были знакомы с шестидесятеричной системой и её особенностями.
Несмотря на присущие шестидесятеричной системе счисления жителей Междуречья сложности, когда дело заходит о понимании сроков жизни праотцев, они не считаются важной проблемой. Самыми важные соображения в этом отношении касаются месопотамских представлений о священных числах.
В мировоззрение жителей Междуречья входило два представления о числах: (1) числа могли иметь реальное значение, (2) числа могли быть символическим описанием священного. «Реальные» числа использовались в повседневных административных и хозяйственных делах – в бухгалтерии и торговле (квитанции, займы, распределение товаров, измерения и пр.), в строительстве (архитектура), в военных делах и налогообложении. Но определённы числа шестидесятеричной системы, такие как соссос (60), нерос (600) и сарос (3600) занимали в вавилонской математике и астрономии особое место.[23] В религии основным богам Междуречья были присвоены числа соответственно их месту в божественной иерархии. Например, Ану, глава месопотамского пантеона богов, был обозначен числом 60, самым идеальным числом в иерархии. Кроме того, жители Междуречья иногда использовали числа криптографически; напр., имена могли иметь соответствующее числовое значение. Так, во время строительства его дворца в Хорсабаде Саргон II сказал: «Я построил городскую стену окружностью 16283 локтя, по числу моего имени».[24]
Как минимум, с конца III тысячелетия до н.э. «священные числа» использовались в делах религиозных по отношению к богам, царям и высокопоставленным лицам. Как имя имело для древних особое значение (напр. Ной, Быт. 5:29), а не просто было именем, так и число само по себе могло иметь смысл. То есть, числа в древних религиозных текстах могли указываться с нумерологическими целями, а не для обозначения количества или порядкового номера.[25] С нумерологической точки зрения, основанием и целью использования числа могло быть его символическое значение, а не его обычное значение в системе счисления. Одно из религиозных соображений древних при употреблении чисел могло заключаться в том, чтобы сделать так, что любая схема нумерации срабатывала бы нумерологически; т.е. что были бы использованы и получались при сложении нужные символические числа. Это категорически отличается от повседневного употребления чисел, при котором главной заботой было то, чтобы числа давали арифметически верную сумму. На это можно взглянуть и так: священные числа, использовавшиеся жителями Междуречья, придавали важным лицам или литературному тексту своеобразное религиозное достоинство или вызывали к ним уважение.
Священные числа также были встроены в месопотамское представление о симметрии и гармонии, которое было в сердце их понимания жизни. Важно было ассоциировать свою жизнь с правильными числами и избегать неправильных, которые могут принести дисгармонию (что-то вроде китайского представления об инь и ян). Символические числа сильнее всего ценились в религиозных текстах, так как они считались носителями высшей истины и реальности. Какой же была для жителей Междуречья «самая-самая» единица – число, вокруг которой вращалась вся их математическая система? Это было число 60 (и в меньшей степени число 10), или какое-либо сочетание этих двух чисел (напр., 60÷10 = 6; 60 x 10 = 600).[26] Поскольку 60 считалось фундаментальной единицей шестидесятеричной системы, неудивительно, что его стали воспринимать как священное.
Математика в Месопотамии
ša3 niĝ2-kas7 nu-zu ša3 igi-ĝal2 tuku
Обладает ли мудростью душа, которая не овладела искусством счета?
Шумерская пословица,
Alster B. Proverbs of Ancient Sumer, 1997, 54, 116
Обычно, когда мы говорим о математике в древней Месопотамии, мы имеем в виду старовавилонский период (1800–1595) или вторую половину I тыс. до н. э. От этих периодов сохранилось множество табличек математического содержания, которые опубликованы и хорошо изучены. Но вообще-то математика в Месопотамии родилась раньше письменности. Более того, она послужила толчком для развития последней.
Сначала для учета продукции храмовых хозяйств использовались счетные фишки, изображавшие тот или иной вид продукта. К IV тыс. до н. э. вместо фишек стали использоваться глиняные таблички с их изображениями или рядами чисел. Уже первые таблички с расчетами количества зерна для пива или с вычислением площади поля демонстрируют нам, что жители Месопотамии неплохо разбирались в прикладной математике. Немногочисленные математические таблички, дошедшие до нас от III тыс. до н. э., показывают, что население Междуречья (сначала шумеры, позже — сменившие их аккадцы) умножали и делили, оперировали дробями, вычисляли площадь полей — в том числе полей нерегулярной формы, — а также объем стен и количество кирпичей, необходимое для их возведения.
Многие первые математические таблички, как, например, описанная во врезке, явно представляют собой упражнения, а не практические вычисления — они оперируют очень большими или очень малыми числами, описывают идеальную ситуацию, в них отсутствует маркеры хозяйственных документов. В III тыс. до н. э. в ходу было несколько разных систем счисления и разных систем мер и весов. Благодаря ряду бюрократических реформ к концу III тыс. — началу II тыс. до н. э. они были в значительной степени унифицированы. Шире всего стала применяться шестидесятеричная система счисления — появились первые таблицы с парами взаимно обратных чисел, произведение которых равно 60.
Надписи на глиняном цилиндре рассказывают о строительных операциях, в том числе о восстановлении храма бога Шамаша в Ларсе. Расчеты для строительства требовали хорошей математики
К старовавилонскому периоду все жанры математических текстов, а также круг решаемых задач (арифметических, алгебраических и геометрических) уже существовали. Но от этого времени, в отличие от предыдущего, до нас дошли тысячи табличек математического характера. Среди них таблицы на умножение, таблицы обратных величин, квадратных и кубических корней, квадратов последовательных целых чисел, сумм кубов и квадратов и сотни словесных алгебраических и геометрических задач. Поэтому при описании месопотамской математики принято опираться именно на этот период.
На основе источников можно сделать вывод, что вавилоняне умели решать линейные и квадратные уравнения, системы линейных уравнений, использовали правила суммирования прогрессий, в задачах применяли пропорции, проценты; оперировали числом π, вычисляли площадь сегмента круга и объем усеченного конуса, площадь правильных многоугольников и неправильных четырехугольников; на практике применяли теорему Пифагора (без доказательства самой теоремы). Умели в древнем Вавилоне решать и некоторые более сложные уравнения, которые с помощью линейной замены переменной сводились к уравнению с целым корнем, который искали перебором.
Математике начинали обучать в старовавилонской школе сразу после того, как ученики осваивали основной репертуар клинописных знаков. Начинали с изучения прикладной метрологии и арифметики, потом переходили к словесным задачам по алгебре и геометрии.
Существует пример алгоритмического расчета роста поголовья скота на протяжении десяти лет (табличка TCL 2, 5499; CDLI: P131589): в начале дано 4 коровы и два разнополых теленка. Каждая вторая корова приносит каждый год по теленку. Каждый первый теленок — мужского пола, каждый второй — женского. На четвертый год каждый теленок становится быком или коровой. В течение года каждая корова приносит определенное количество сыворотки и сыра. Заданы также цены на сыворотку и сыр. В конце подсчитывается количество коров, быков и телят в стаде через десять лет; общее количество сыворотки и молока, полученных в течение десяти лет, и их стоимость в серебре.
Plimpton 322
Пожалуй, самым известным математическим текстом, написанным на глиняной табличке в старовавилонскую эпоху, является табличка Plimpton 322. Джордж Артур Плимптон, по имени которого она названа, был издателем учебной литературы в Нью-Йорке — и частным коллекционером. Он приобрел эту табличку около 1922 года за 10 долларов у американского дипломата и антиквара Эдварда Банкса, который в свободное от работы время занимался раскопками, а также покупал и перепродавал глиняные таблички (считается, что он был прототипом Индианы Джонса). В 1936 году Плимптон передал эту табличку в дар Колумбийскому университету, где она хранится и сейчас в библиотеке редких рукописей и манускриптов.
Судя по особенностям письма, табличка была написана в конце XIX или XVIII веке до н. э. и относится, следовательно, к старовавилонскому периоду. Э. Банкс утверждал, что табличка была найдена в руинах города Ларсы, расположенного в Южной Месопотамии. Действительно, своим горизонтальным форматом табличка напоминает административные документы из Ларсы, хотя этот формат и не свойственен другим математическим табличкам из этого города.
Считается, что примерно треть от первоначального размера таблички слева утрачена. Размеры сохранившейся части таблички составляют 13×9×2 см. Лицевая сторона таблички поделена на четыре колонки по пятнадцать строк каждая. Разделительные линии колонок продолжаются и на обратной стороне таблички, но текст на ней отсутствует. Над каждой из четырех колонок на лицевой стороне сделаны пояснения на аккадском языке с использованием шумерских логограмм.
Вавилонская табличка Plimpton 322. Найдена в Нижнем Междуречье, предположительно на месте древнего города Ларса
Plimpton 322 — таблица, в которой собраны пифагоровы тройки — размеры прямоугольных треугольников, у которых оба катета и гипотенуза выражаются целыми числами. В табличке выписаны два катета, а вместо гипотенузы — квадрат отношения гипотенузы к одному из катетов. Ее описание проще всего начать с четвертой колонки, озаглавленной как «его / ее строка». В этой колонке содержится нумерация строк таблички с 1 по 15.
Во второй и третьей колонке записаны 15 пар чисел из пифагоровых троек в шестидесятеричной системе. При уравнении вида a 2 + b 2 = c 2 вторая колонка содержит числа a (соответствуют самой короткой стороне прямоугольного треугольника). В третьей колонке содержатся числа c (соответствуют гипотенузе прямоугольного треугольника). Заголовок второй колонки содержит слово «ширина», а третьей — «диагональ». Этим словам в обоих случаях предшествует логограмма IB2.SI8. Возможный перевод этой логограммы — «квадрат», то есть вторая колонка может называться «квадрат ширины», а третья — «квадрат диагонали». Однако математики, занимающиеся этой табличкой, всё еще спорят по поводу интерпретации этой логограммы в данном контексте.
Первыми (в 1940-х годах) табличкой заинтересовались профессор Брауновского университета, математик и историк науки Отто Нейгебауэр и ассириолог Абрахам Закс (Abraham Sachs). Они интерпретировали табличку как запись пифагоровых чисел. Долгое время табличка считалась уникальной. Действительно, нам неизвестны другие подобные таблицы с пифагоровыми тройками. Но задачи на пифагоровы треугольники — обычное дело для старовавилонской школы. Так, Элеанора Робсон [6], специалист по месопотамской математике, изучала табличку Plimpton 322 в контексте других вавилонских математических табличек и показала их сходство. Кроме того, она попыталась реконструировать отсутствующую часть текста. По ней ( [6]: 116), в утерянной части таблички были записаны пары взаимно обратных чисел. Они были использованы для нахождения короткой стороны и гипотенузы прямоугольного треугольника с длинной стороной, равной единице, с помощью метода дополнения квадрата. Один из промежуточных результатов записан в первой сохранившейся колонке. Существуют и другие попытки как реконструкции, так и интерпретации таблички [5]. Хайосси в своей статье не только предлагает свою интерпретацию различных аспектов, связанных с этим текстом, но и кратко перечисляет теории других исследователей.
Литература
1. Страница таблички Plimpton 322 на сайте библиотеки Колумбийского университета.
2. Страница таблички на сайте CDLI (Cuneiform Digital Library Initiative).
3. Casselman, W., The Babylonian Tablet Plimpton 322, University of British Columbia, Vancouver, BC, Canada, 2003.
4. Friberg, J. Mathematik. Das Reallexikon der Assyriologie und Vorderasiatischen Archäologie 7 (1987–1990), pp. 531–585.
5. Hajossy, R. Plimpton 322: A Universal Cuneiform Table for Old Babylonian Mathematicians, Builders, Surveyors and Teachers // Tatra Mountains Mathematical Publications, 67(1) (2016), pp. 1–40.
6. Robson, E. Words and pictures: new light on Plimpton 322 // American Mathematical Monthly, 109 (2002), pp. 105–120.
Литература для дополнительного чтения
1. Friberg, J. Methods and traditions of Babylonian mathematics: Plimpton 322. Pythagorean triples and the Babylonian triangle parameter equations // Historia Mathematica, 8 (1981), pp. 277–318.
2. Friberg, J. A Remarkable Collection of Babylonian Mathematical Texts: Manuscripts in the Schøyen Collection, Cuneiform Texts I, Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Berlin: Springer.
3. Proust, C. On the nature of the table Plimpton 322. Mathematisches Forschungsinstitut.
4. Oberwolfach, Oberwolfach Report 12/2011, pp. 664–666.
5. Robson, E. Neither Sherlock Holmes nor Babylon: A Reassessment of Plimpton 322 // Historia Math., 28 (2001), pp. 167–206.
Вавилонская система счисления 🌴: принцип построения и примеры
История вавилонской системы счисления
Даже сейчас историки не знают точно, в результате чего появилась нумерация. Выдвигается много гипотез, однако большую популярность набрали всего две из них.
Версия О. Нейгебауэра
Первое предположение высказал австрийский математик О́тто Эдуа́рд Нейгеба́уэр (1899—1990) — австрийский, позже американский математик и историк науки. Автор глубоких исследований древней и средневековой науки, особенно истории математики.
‘>Отто Нейгебауэр в 1927 году. По его версии исчисление возникло сразу после завоевания древнего Шумера государством, которое называется Аккад. Тогда было введено два денежных номинала, один из которых назывался шекелем, а другой – мина. Историками было установлено, что одна мина была равна шестидесяти шекелям. Спустя некоторое время вавилоняне привыкли к этому представлению и стали использовать её для счета всего остального.
Версия И.Н. Веселевского и другие
Однако эту версию опроверг знаменитый советский математик – Ива́н Никола́евич Весело́вский (1892-1977) — советский механик, математик и историк науки.
Эта версия получила много критики от историков, которые ссылались на то, что в то время нумерацию можно было охарактеризовать как десятичную. Однако в 1985 году французский математик Жор Ифра, в своей работе «Всеобщая история чисел» аргументирует мнение, которое было близко к гипотезе советского ученого.
В докладе говорилось о том, что вавилонская система счисления получилась в результате слияния двух более древних форматов отображения чисел — пятеричного и двенадцатеричного. Это подтверждают и находки археологов, которые показывают, что в то время действительно использовались эти способы представления чисел.
Методы отображения числовых значений
После небольшого экскурса в историю можно перейти к основным определениям, а также рассмотреть, как отображались числовые величины в нумерации древнего Вавилона. Итак
Основные положения в шестидесятеричном исчислении
Вавилонскую систему – можно охарактеризовать, как позиционное счисление по основанию шестьдесят.
Здесь стоит разобрать два слова – «позиционное» и «основание».
Основание – его еще можно охарактеризовать такими словами, как «основа» или «базис». Является количеством знаков, которое использовалось для отображения величин.
Так древние Вавилоняне использовали 60 различных знаков (шестидесятеричное отображение). Их Вы можете увидеть на картинке ниже.
Что касается слова «позиционная», то тут все тоже очень просто. Этот термин говорит о том, что позиция знака (цифры) в числе влияет на его величину. Для примера можно десятичный формат записи, который мы все используем. Так в величинах 5, 50 и 500 цифра пять имеет различный «вес» – в одном случае она обозначает единицы, во втором десятки, ну а в третьем сотни.
Что касается записи, то и она не должна вызывать никаких сложностей. Из изображения выше Вы можете заметить, что для написания знака используются клинышки – одни из них направлены влево, а другие вниз. Именно поэтому этот алфавит называется клинописью. Так клинышки, которые смотрят влево — отображают десятки, а те, что вниз – единицы.
Чтобы разобраться, рассмотрим несколько примеров. Например, 12 в вавилонской системе будет писаться как
А теперь 45
Результаты соответствуют выражениям – 1*10 +2*1=12 и 4*10+5*1=45.
Примечательно, что в этом формате имели представление и большие величины.
Как пример 1972 записывалось вот так
Что равнялось 32*60+52=1972. Аналогия с арабскими цифрами простая – так отсчитав от 0 до 9, мы переходим от разряда единиц к разряду десятков. Также и здесь – посчитав до 60, мы переходим к новому разряду. Получается, что здесь мы считаем не десятками, а значениями, которые кратны 60.
Алгебраические операции и дроби в вавилонской системе
Сложные математические действия, такие как умножение и деление выполнялись с помощью сложных таблиц. Это можно объяснить тем, что использовалось большое количество знаков, и держать числа в уме было очень трудно.
Что касается дробей, то в Вавилоне использовались шестидесятеричные дробные значения (пример 1/60). Используем мы это представление до сих пор в подсчете времени. Так один час равен шестьдесят минут, а минута равняется шестидесяти секундам.
Заключение
Вот и всё, Вы познакомились с вавилонской системой счисления, которая использовалась в древнем Вавилоне. И имеете представление, как её охарактеризовать. Эти знания Вы сможете использовать в своем докладе. Если возникли трудности, то оставляйте вопросы в комментариях к статье.