О чем может свидетельствовать значительное расхождение среднего моды и медианы
Медиана в статистике
Центральную тенденцию данных можно рассматривать не только, как значение с нулевым суммарным отклонением (среднее арифметическое) или максимальную частоту (мода), но и как некоторую отметку (значение в совокупности), делящую ранжированные данные (отсортированные по возрастанию или убыванию) на две равные части. Половина исходных данных меньше этой отметки, а половина – больше. Это и есть медиана.
Итак, медиана в статистике – это уровень показателя, который делит набор данных на две равные половины. Значения в одной половине меньше, а в другой больше медианы. В качестве примера обратимся к набору нормально распределенных случайных чисел.
Очевидно, что при симметричном распределении середина, делящая совокупность пополам, будет находиться в самом центре – там же, где средняя арифметическая (и мода). Это, так сказать, идеальная ситуация, когда мода, медиана и средняя арифметическая совпадают и все их свойства приходятся на одну точку – максимальная частота, деление пополам, нулевая сумма отклонений – все в одном месте. Однако, жизнь не так симметрична, как нормальное распределение.
Допустим, мы имеем дело с техническими замерами отклонений от ожидаемой величины чего-нибудь (содержания элементов, расстояния, уровня, массы и т.д. и т.п.). Если все ОК, то отклонения, скорее всего, будут распределены по закону, близкому к нормальному, примерно, как на рисунке выше. Но если в процессе присутствует важный и неконтролируемый фактор, то могут появиться аномальные значения, которые в значительной мере повлияют на среднюю арифметическую, но при этом почти не затронут медиану.
Медиана выборки – это альтернатива средней арифметической, т.к. она устойчива к аномальным отклонениям (выбросам).
Математическим свойством медианы является то, что сумма абсолютных (по модулю) отклонений от медианного значения дает минимально возможное значение, если сравнивать с отклонениями от любой другой величины. Даже меньше, чем от средней арифметической, о как! Данный факт находит свое применение, например, при решении транспортных задач, когда нужно рассчитать место строительства объектов около дороги таким образом, чтобы суммарная длина рейсов до него из разных мест была минимальной (остановки, заправки, склады и т.д. и т.п.).
Формула медианы
Формула медианы в статистике для дискретных данных чем-то напоминает формулу моды. А именно тем, что формулы как таковой нет. Медианное значение выбирают из имеющихся данных и только, если это невозможно, проводят несложный расчет.
Первым делом данные ранжируют (сортируют по убыванию). Далее есть два варианта. Если количество значений нечетно, то медиана будет соответствовать центральному значению ряда, номер которого можно определить по формуле:
№Me – номер значения, соответствующего медиане,
N – количество значений в совокупности данных.
Тогда медиана обозначается, как
Это первый вариант, когда в данных есть одно центральное значение. Второй вариант наступает тогда, когда количество данных четно, то есть вместо одного есть два центральных значения. Выход прост: берется средняя арифметическая из двух центральных значений:
В интервальных данных выбрать конкретное значение не представляется возможным. Медиану рассчитывают по определенному правилу.
Для начала (после ранжирования данных) находят медианный интервал. Это такой интервал, через который проходит искомое медианное значение. Определяется с помощью накопленной доли ранжированных интервалов. Где накопленная доля впервые перевалила через 50% всех значений, там и медианный интервал.
Не знаю, кто придумал формулу медианы, но исходили явно из того предположения, что распределение данных внутри медианного интервала равномерное (т.е. 30% ширины интервала – это 30% значений, 80% ширины – 80% значений и т.д.). Отсюда, зная количество значений от начала медианного интервала до 50% всех значений совокупности (разница между половиной количества всех значений и накопленной частотой предмедианного интервала), можно найти, какую долю они занимают во всем медианном интервале. Вот эта доля аккурат переносится на ширину медианного интервала, указывая на конкретное значение, именуемое впоследствии медианой.
Обратимся к наглядной схеме.
Немного громоздко получилось, но теперь, надеюсь, все наглядно и понятно. Чтобы при расчете каждый раз не рисовать такой график, можно воспользоваться готовой формулой. Формула медианы имеет следующий вид:
где xMe — нижняя граница медианного интервала;
iMe — ширина медианного интервала;
∑f/2 — количество всех значений, деленное на 2 (два);
S(Me-1)— суммарное количество наблюдений, которое было накоплено до начала медианного интервала, т.е. накопленная частота предмедианного интервала;
fMe — число наблюдений в медианном интервале.
Как нетрудно заметить, формула медианы состоит из двух слагаемых: 1 – значение начала медианного интервала и 2 – та самая часть, которая пропорциональна недостающей накопленной доли до 50%.
Для примера рассчитаем медиану по следующим данным.
Требуется найти медианную цену, то есть ту цену, дешевле и дороже которой по половине количества товаров. Для начала произведем вспомогательные расчеты накопленной частоты, накопленной доли, общего количества товаров.
По последней колонке «Накопленная доля» определяем медианный интервал – 300-400 руб (накопленная доля впервые более 50%). Ширина интервала – 100 руб. Теперь остается подставить данные в приведенную выше формулу и рассчитать медиану.
То есть у одной половины товаров цена ниже, чем 350 руб., у другой половины – выше. Все просто. Средняя арифметическая, рассчитанная по этим же данным, равна 355 руб. Отличие не значительное, но оно есть.
Расчет медианы в Excel
Медиану для числовых данных легко найти, используя функцию Excel, которая так и называется — МЕДИАНА. Другое дело интервальные данные. Соответствующей функции в Excel нет. Поэтому нужно задействовать приведенную выше формулу. Что поделаешь? Но это не очень трагично, так как расчет медианы по интервальным данным – редкий случай. Можно и на калькуляторе разок посчитать.
Напоследок предлагаю задачку. Имеется набор данных. 15, 5, 20, 5, 10. Каково среднее значение? Четыре варианта:
Мода, медиана и среднее значение выборки – это разный способ определить центральную тенденцию в выборке.
Ниже видеоролик о том, как рассчитать медиану в Excel.
О чем может свидетельствовать значительное расхождение среднего моды и медианы
Каков средний возраст современного кинозрителя? (величина А)
Какой самый популярный фильм 2016 года? (величина В)
Чему равен максимальный возраст младшей половины аудитории фильма «Кунг-фу Панда»? (величина С)
Такая информация всегда необходима кинокомпаниям, может быть полезна владельцам кинозалов и даже может заинтересовать кинозрителей. Знаете, что общего у этих разных, на первый взгляд, величин? Величины А, В и С являются серединами. О них мы и поговорим.
Начнём с того, что все эти величины – А, B и С – можно определить только тогда, если у вас есть данные. В первом случае, это количество людей, посетивших кинотеатры и их возраст. Во втором – список фильмов 2016 года и количество билетов, проданных на каждый фильм. И в последнем случае – это количество людей, посмотревших фильм «Кунг-фу Панда» с указанием их возраста.
Проанализировав и обработав имеющиеся данные, мы можем найти значение величин А, В и С. Каждая из названных величин является «центром» или «серединой» этих данных. В математической статистике их называют средним арифметическим (А), модой (В) и медианой (С). Эти величины несут в себе определённую информацию об имеющихся данных и могут быть полезными в повседневной жизни. Чтобы было понятно, объясним это на примере.
Средняя величина – это усреднённый показатель, который уничтожает индивидуальные различия и даёт обобщающую характеристику показателю. Бывают случаи, когда средняя арифметическая не совсем подходит для решения поставленной задачи и даже может ввести в заблуждение. Тогда используются другие средние величины – мода и медиана. Мода и медиана – важные показатели, они отражают структуру данных и, в отличие от средней арифметической, не погашают индивидуальных различий изучаемого показателя. Поэтому они являются дополнительными и очень важными характеристиками и на практике часто используются вместо средней арифметической либо наряду с ней.
Среди школьников четвёртых классов провели годовую контрольную по математике. Класс, который покажет наилучший результат, наградят поездкой в летний лагерь. В каждом классе по 30 учеников. Победителя решили определить, вычислив среднюю арифметическую оценку по каждому классу.
Самый распространённый вид средней величины – средняя арифметическая. Как она считается, знают все: нужно сложить все слагаемые и сумму разделить на количество этих слагаемых.
Результаты получились следующими:
Наивысший результат показал 4 «В» класс. «Ура! Мы едем в лагерь!» – обрадовались ученики 4 «В» класса. Но тут возмутились ученики 4 «А» и 4 «Б» классов: «Мы должны поехать в летний лагерь, у нас больше «пятёрок»! Директор был в замешательстве: «Что делать?»
Тогда учитель математики предложил посчитать моду.
Мода – это наиболее часто встречающееся значение в данных. Мода применяется, например, на обувных фабриках, при определении самого «ходового» размера обуви, то есть пользующегося наибольшим спросом у покупателей. В самом деле, не будут же производители обуви ориентироваться на средний размер обуви и шить всю обувь среднего размера.
По этому показателю лучшими оказались 4 «А» и 4 «Б» классы – у них самой «модной» оценкой оказалась «пятёрка», тогда как в 4 «В» «модная» оценка была ниже – это была «четвёрка». Директор был озадачен: «Получается, что нужно поощрить сразу два класса, но количество мест в лагере ограничено!» Тогда ученики 4 «А» начали говорить, что они всё равно лучше, потому что у них «пятёрок» больше, чем у 4 «Б». В ответ на это 4 «Б» возмущённо сказал: «Зато у нас троек меньше, чем у вас. Должны ехать мы!» Директор школы опять оказался в затруднительном положении. Но неунывающий учитель математики предложил рассчитать медиану.
Медиана – это некая отметка, делящая ранжированные данные (отсортированные по возрастанию или убыванию) на две равные части. Она расположена в центре ранжированного ряда. То есть половина исходных данных по своему значению меньше этой отметки, а половина – больше.
Вот как нужно находить её в наборе данных.
«Ну теперь точно поедем мы!» – радовался 4 «А», наша медиана «4,5», а у 4 «Б» и 4 «В» – «четвёрка». Это значит, что половина нашего класса получила отметку выше, чем 4,5 (то есть только пятёрки), а у других классов эта же половина получила отметку выше «4» (то есть не только «пятёрки», но и «четвёрки»).
Но тут подал голос 4 «В», до этого не вступавший в спор: «А у нас вообще «троек» нет, значит, у нас нет отстающих, и это немаловажный показатель!». «А ведь они тоже правы», – подумал директор и ещё больше загрустил.
Итак, мы увидели, что, используя разные средние величины, мы получаем разные результаты, то есть каждый раз лучшим становится другой класс. Поэтому, чтобы выбрать самый лучший класс, надо сначала дать чёткое описание поставленной задачи, в зависимости от того, чего вы добиваетесь.
А какой класс отправили бы вы, будь вы на месте директора?
Среднее значение, медиана и мода
Эти три термина являются основными показателями в статистическом анализе. Если 20 лет назад в нашей стране они интересовали только экономистов и работников статистики, то теперь почти каждый, кто имеет хоть какое-либо отношение к коммерции, следит за этими данными. Это работники банковского сектора, торговли, сервиса о больше всех брокеры.
Но в этой статье мы не будем подробно объяснять каждый из этих терминов. Их достаточно распиарили и без нас. Вместо этого остановимся на объяснении этих трех терминов: среднее значение, медиана и мода. Все три термина объясним с примерами.
Среднее значение
Часто так называют среднеарифметическое значение выборки (или множества чисел). Это, пожалуй, самый распространенный термин, из вышеперечисленных трех. Хотя бы потому, что почти каждый день мы слышим это слово в СМИ. Значение его тоже объясняет само название. Тем не менее, для тех, кому непонятен смысл этого слова, объясним “на пальцах”.
Это сумма данных чисел, деленное на количество. Если написать в виде формулы, это выглядит так.
Пример из практики
Медиана
Медиана – число, характеризующее выборку, т.е. если взять все элементы множества, то это число ровно делит множество пополам. Одна половина множества равна или больше этого число, а другая меньше или равна этому числу.
Пример из практики
Значит, среднее значение в год составляет
$(1,000,000 + 200,000 + 8,900) : 100 = 1,208,900 : 100 = 12,089$ у.е.
Зная соотношение неработающих людей, на каждого работающего, и поделив полученное на это число, получим доход на душу населения (с учетом детей, стариков и больных без пенсии).
Итак, такая статистика показывает, что народ живет припеваючи, зарабатывая примерно 1,000 у.е. в месяц, а действительность другая. Как раз, так и вычисляется доход на душу населения. Берется национальный доход и делится на численность населения. Теперь вы понимаете, почему в сводках всегда называют эту цифру, потому что она никоим образом не отображает благосостояние большинства, а только является показателем экономического благосостояния страны.
Пример из практики
Если постоять на проспекте и в течение 10 минут и посчитать все проезжающие автомобили и классифицировать их по цветам, то можно определить моду для цвета автомобилей этого города. Допустим, насчитали 95 белых, 45 черных, 12 красных, 38 серых и 70 других цветов. Значит, модой в этом городе являются автомобили белого цвета. Это хорошая информация для дистрибьюторов автомобилей.
Подробнее о среднем значении
Иногда вычисляют среднее значение для группы данных. Тогда значения разбивают на группы и вычисляют серединную точку каждой группы. Затем эти значения умножают на количество членов каждой группы (на частотность) и складывают. А результат делят на общее количество. Такое значение называют средним значением группы. Посмотрите на этот пример:
| Группа | Частота | Середина |
|---|---|---|
| 1-20 | 5 | 10.5 |
| 21-40 | 25 | 30.5 |
| 41-60 | 37 | 50.5 |
| 61-80 | 23 | 70.5 |
Умножаем эти значения на частоты и складываем, затем делим на общее количество:
Как уже показали на примере с доходом населения, экстремумы сильно влияют на среднеарифметическое значение, поэтому иногда полезно их отбрасывать. Тогда среднее значение называется урезанным средним.
В симметричном распределении (типа нормального распределения) среднее значение, медиана и мода равны или близки друг другу. В асимметричном же, они отличаются, и число, на которое отличаются эти показатели, дают информацию о “скошенности” распределения относительно нормального.
Надеемся, что нам удалось “на пальцах” объяснить значение терминов среднеарифметическое значение, медиана и мода. Если кто-то из Ваших знакомых до сих пор в недоумении, просвещайте их, поделившись данной статьей в соц. сетях.
Читайте также
Переменные потока и запасы
Все экономические переменные, которые имеют временное измерение, т.е. величины которых можно измерить по истечении времени называем переменными потока. А запас не имеет временное измерение.
Показатели вариации
Чтобы знать, насколько далеко значение совокупности простирается от центральной тенденции, вычисляют вариацию (на английском dispersion или variability, но не путайте с variation). Есть несколько показателей вариации. Это размах, межквартильный размах, среднее линейное отклонение, дисперсия и стандартное отклонение.
Типы выборки
Для расследования генеральной совокупности применяют два вида выборки. Случайную и неслучайную выборку. Простая, систематическая, стратифицированная и кластерная выборка являются случайными выборками. Стихийная, удобная и квотная выборка являются примером неслучайной выборки.
Скользящее среднее значение
Среди наиболее популярных технических индикаторов чаще всего, скользящее среднее значение используются для измерения направления текущего тренда. Самая простая формула скользящей средней, известна как Простое Скользящее Среднее значение.
Генеральная совокупность и выборка
Генеральной совокупностью называют всё исследуемое множество. На английском языке этот термин называется популяцией (population). Выборкой (на английском sample) называют некоторое случайно отобранное подмножество из генеральной совокупности.
Нулевая гипотеза
Нулевая гипотеза утверждает, что между исследуемыми данными никакой закономерности нет. Пока нулевая гипотеза не опровергнута, она в силе. Альтернативная гипотеза является обратной нулевой гипотезе.
Типы данных в статистике
Такие выражения, как минимум, максимум, медиана и процентиль имеют значение лишь для порядковых данных. Порядковые данные делятся на метрические и неметрические.
Что такое тренд?
Термины тренд и тенденция используются в различных целях. Люди часто говорят о тенденции относительно роста цен и падения курса какой-то валюты. Здесь мы раскроем статистическое значение этих терминов.
Ошибка репрезентативности
Стандартная ошибка (standard error) и ошибка репрезентативности часто употребляются, как взаимозаменяемые термины. Ошибка репрезентативности показывает, насколько результаты, полученные при выборочном наблюдении отличаются от результатов, полученных при исследовании генеральной совокупности.
Медиана в статистике
Медиана – середина упорядоченного ряда. Медиана делит этот ряд пополам таким образом, что в одной половине стоят все значения меньшие, а в другой все значения большие медианы.
© Все права защищены
Все статьи этого сайта написаны Джафаром Н.Алиевым. Перепечатывание любой статьи на стороннем ресурсе должно сопровождаться именем автора и ссылкой на данный ресурс. Сам автор следует этим правилам.
Модус, медиана и средние значения в ставках
Средние значения в ставках и как ими правильно пользоваться.
При анализе спортивных показателей, имеющих числовое значение, начинающие бетторы часто останавливаются на определении средних цифр. На длительной дистанции средние показатели, действительно, выравниваются к реальной картине. Но на коротких отрезках они могут очень сильно искажаться под влиянием дисперсии. Это же, кстати, касается и результатов в ставках на спорт.
Искажения средних показателей
Пример №1, футбол
“Спартак” забил 12 голов за последние 9 матчей. В среднем это 1,33 гола за игру. Простейший вывод – ИТБ(1) или “Спартак забьет 1-2 гола” будут прекрасными вариантами.
Но если посмотреть на распределение этих мячей, то можно заметить, что обе эти ставки проходили лишь в четырех случаях из девяти, что очень вряд ли принесло бы профит.
Пример №2, баскетбол
“Лейкерс” набрали 563 очка в последних 5 матчах, в среднем, по 112,6 очков за игру. Но разброс в этих матчах очень большой – от 102 до 124 набранных очков. Причем два крайних матча они как раз провели нерезультативно. Это не позволяет выбрать из их предлагаемого ИТ111,5 ни “больше”, ни “меньше”.
Модус и медиана
Альтернативой средним показателям на коротких отрезках могут стать как раз математические понятия модуса и медианы.
В случае со “Спартаком” модус это число 0, оно встречается трижды в девяти матчах. Если бы мы выявили его, это могло бы натолкнуть нас на мысль, что лучше сыграть ИТМ(1,5) или ставку “Спартак забьет 0-1 голов”.
В случае с “Лейкерс” модуса нет, так как ни один показатель не встречается более одного раза. Можно взять более широкую выборку и найти модус, равный 117 набранным очкам.
В свою очередь, это могло бы натолкнуть нас на ИТБ при выборе значения 111,5 очков. И, действительно, 112+ очков залетало в корзины соперников LAL в большей части из этих 13 матчей.
Медиана – это среднее значение последовательности чисел, выстроенных по возрастанию. То есть буквально, то число, которое окажется посередине. Если количество чисел четное, то среднее от двух срединных чисел.
Выстроим голы, забитые “Спартаком” в последовательность по возрастанию:
0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3
Посередине получилась единица, это и есть медиана данной последовательности. Снова мы видим, что она меньше, чем среднее значение. И это может навести нас на ценную идею о “н изе” или мысль о том, что лучше взять “0-1 голов”.
К слову, модус и медиана очень легко считаются с помощью Экселя или гугл-таблиц. Достаточно ввести туда весь массив данных и применить формулы.
Формула для модуса: “=MODE(диапазон значений)”
Например, как на картинке:
Формула для медианы: “=MEDIAN(диапазон значений)”
Например, как на картинке:
Применение модуса и медианы в ставках
Ни модус, ни медиана, разумеется, не являются константой, которая принесет тебе 100% проходимость ставок. Это лишь вспомогательные инструменты, которые дополняют примитивный расчет средних значений, и могут направить тебя в нужное русло при выборе варианта.
Особенно ценны они когда нужно рассчитать короткую дистанцию. В этом случае средние значения часто дают искажение, а модус и медиана корректируют и уточняют их.
Модус лучше всего работает там, где числовые значения невелики – тоталы голов в футбольных и хоккейных матчах, тоталы желтых карт, угловых, и так далее. Медиана лучше проявляет себя на больших цифрах – тоталы волейбольных, баскетбольных матчей, другие крупные числовые значения.
Еще более точные данные можно получить, если применить значения модуса и медианы к обоим соперникам или командам. Если ты не поленишься обсчитать все три значения для обеих команд, то в большинстве случаев получишь очень близкий к истине результат.
Проверь эффективность модуса и медианы у нас, на СТАВКЕ. Мы предоставляем отличную площадку для тестирования новых тактик в беттинге. Все совершенно бесплатно и безопасно для твоего банкролла. А если вдруг ты выработаешь эффективную стратегию – она может принести тебе реальные призовые деньги!